作业帮函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8在区间（-∞,0）上单调递增,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:29:05
函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8在区间（-∞,0）上单调递增,求a的取值范围
函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8在区间（-∞,0）上单调递增,求a的取值范围
函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8在区间（-∞,0）上单调递增,求a的取值范围
f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a 注：X^2为X的平方
因为函数在负无穷到0单调递增
即x＜o时 f’（x）＞0
令f’（x）＞0 则（x－1）（x－a）＞0
a＞1时 x＞a或 x＜1 由题X
对f(x)求导
y=f'(x)=9x^2-6(a+1)x+6a
要是f(x)在(-∞,0)上为增函数，需要y在(-∞,0)上始终大于零
函数y(x)的二次项为9>0，所以，开口向上
对y配方，有：y=9[x-(a+1)/3]^2+6a-(a+1)^2
分情况进行讨论：
1、当对称轴x=(a+1)/3<0时，需要最小值y=6a-(a+1)^2>0
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对f(x)求导
y=f'(x)=9x^2-6(a+1)x+6a
要是f(x)在(-∞,0)上为增函数，需要y在(-∞,0)上始终大于零
函数y(x)的二次项为9>0，所以，开口向上
对y配方，有：y=9[x-(a+1)/3]^2+6a-(a+1)^2
分情况进行讨论：
1、当对称轴x=(a+1)/3<0时，需要最小值y=6a-(a+1)^2>0
推出a<-1，且2-√3
推出a>0
综述，a的取值范围为a>0
收起
本题即：F′(x)=6x²-6(a+1)x+6a>0在区间（-∞,0）成立
可能一：函数与x轴无交点，则：
Δ=(6(a+1))²-4*6a*6a<0
得a>1或a<-1/3
可能二：函数与x轴的交点都在y轴右侧，则：
F′(x)=6(x-a)(x-1) 得a>0
符合任一条件都成立
故a>0或a<-1/3