请问这个问题如何用数学归纳法证明请大家帮我看看这个题目如何用数学归纳法证明:请证明对于任何大于等于1的自然数n,存在一个从集合{1,2} 中的元素构成的n位数,这个n位数必须被2^n 整出

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 02:01:32

请问这个问题如何用数学归纳法证明请大家帮我看看这个题目如何用数学归纳法证明:请证明对于任何大于等于1的自然数n,存在一个从集合{1,2} 中的元素构成的n位数,这个n位数必须被2^n 整出
请问这个问题如何用数学归纳法证明
请大家帮我看看这个题目如何用数学归纳法证明:
请证明对于任何大于等于1的自然数n,存在一个从集合{1,2} 中的元素构成的n位数,这个n位数必须被2^n 整出.
比如 :当n=4时,2112就是一个 由集合{1,2}中的元素构成的4位数,并且2112能够被 2^4 即 16 整除.
n=1时很容易证明,假设n=k成立也不难,关键是如何推导n=k+1命题也成立呢?希望大家给出思路,我会追加更多分!谢谢了
当然知道什么是数学归纳法啊,这个是归纳法下的一道题,中等难度的,所以请教一下大家思路。

请问这个问题如何用数学归纳法证明请大家帮我看看这个题目如何用数学归纳法证明:请证明对于任何大于等于1的自然数n,存在一个从集合{1,2} 中的元素构成的n位数,这个n位数必须被2^n 整出
1> n=1时,2就可以被2^1整除.
2> 假设n=k时,存在这么一个数A,它可以被2^k整除,并且它有k位,每一位都是由1或者2构成.那么我们现在的任务,就是证明存在另外一个数B,它是k+1位的,每一位由1或者2构成,并且可以被2^(k+1)整除.
我们先把A作一个分类,然后分类讨论.第一类是A可以被2^k整除但是不能被2^(k+1)整除;第二类是A不仅可以被2^k整除还能被2^(k+1)整除.注意,这样的分类是完备的,即对于任何满足条件的A,不是可以被归到第一类,就是可以被归到第二类.
对于第一类,我们可以直接在A前面加一个1就能得到满足条件的B.比如说,12可以被4整除,但是不能被8整除,那么直接在12前面加一个1,也就是112,是可以被8整除的.证明如下:因为A可以被2^k整除但不能被2^(k+1)整除,那么可以把A表示为(2^k)*M,其中M是不能被2整除的整数.这样如果在A前面直接加一个1就相当于B=A+10^k=(2^k)*M+(2^k)*(5^k) = (2^k)*(M+5^k),因为M不能被2整除并且5^k也不能被2整除,所以M+5^k可以被2整除.所以B=(2^k)*(M+5^k)可以被2^(k+1)整除.第一类讨论完毕.
而对于第二类,我们则可以直接在A前面加一个2就能得到满足条件的B.比如,112不仅可以被8整除,而且可以被16整除,那么直接在112前面加上一个2,就是2112则可以被16整除.证明如下:如果A可以被2^(k+1)整除,那么可以把A表示为A=2^(k+1)*Q,其中Q是整数.在A前面加上一个2就相当于B=A+2*10^k=2^(k+1)*Q+2*2^k*5^k=2^(k+1)*Q+2^(k+1)*5^k=2^(k+1
)*(Q+5^k),这样的B肯定能被2^(k+1)整除.
所以无论对于怎样的A,我们总能构造出符合条件的B,使得B能2^(k+1)整除.即已经证明如果命题对于n=k成立,则对于n=k+1也成立.
所以,综1>、2>,由数学归纳原理可证明该命题成立.

请问什么是数学归纳法?如何运用这种方法证明问题?谢谢 数学归纳法是一这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到

1> n=1时,2就可以被2^1整除。
2> 假设n=k时,存在这么一个数A,它可以被2^k整除,并且它有k位,每一位都是由1或者2构成。那么我们现在的任务,就是证明存在另外一个数B,它是k+1位的,每一位由1或者2构成,并且可以被2^(k+1)整除。
我们先把A作一个分类,然后分类讨论。第一类是A可以被2^k整除但是不能被2^(k+1)整除;第二类是A不仅可以被2^k整除还能...

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1> n=1时,2就可以被2^1整除。
2> 假设n=k时,存在这么一个数A,它可以被2^k整除,并且它有k位,每一位都是由1或者2构成。那么我们现在的任务,就是证明存在另外一个数B,它是k+1位的,每一位由1或者2构成,并且可以被2^(k+1)整除。
我们先把A作一个分类,然后分类讨论。第一类是A可以被2^k整除但是不能被2^(k+1)整除;第二类是A不仅可以被2^k整除还能被2^(k+1)整除。注意,这样的分类是完备的,即对于任何满足条件的A,不是可以被归到第一类,就是可以被归到第二类。
对于第一类,我们可以直接在A前面加一个1就能得到满足条件的B。比如说,12可以被4整除,但是不能被8整除,那么直接在12前面加一个1,也就是112,是可以被8整除的。证明如下:因为A可以被2^k整除但不能被2^(k+1)整除,那么可以把A表示为(2^k)*M,其中M是不能被2整除的整数。这样如果在A前面直接加一个1就相当于B=A+10^k=(2^k)*M+(2^k)*(5^k) = (2^k)*(M+5^k),因为M不能被2整除并且5^k也不能被2整除,所以M+5^k可以被2整除。所以B=(2^k)*(M+5^k)可以被2^(k+1)整除。第一类讨论完毕。
而对于第二类,我们则可以直接在A前面加一个2就能得到满足条件的B。比如,112不仅可以被8整除,而且可以被16整除,那么直接在112前面加上一个2,就是2112则可以被16整除。证明如下:如果A可以被2^(k+1)整除,那么可以把A表示为A=2^(k+1)*Q,其中Q是整数。在A前面加上一个2就相当于B=A+2*10^k=2^(k+1)*Q+2*2^k*5^k=2^(k+1)*Q+2^(k+1)*5^k=2^(k+1
)*(Q+5^k),这样的B肯定能被2^(k+1)整除。
所以无论对于怎样的A,我们总能构造出符合条件的B,使得B能2^(k+1)整除。即已经证明如果命题对于n=k成立,则对于n=k+1也成立。

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