过抛物线y^2=x上一点A(4,2),做倾斜角互补的两直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证直线BC的斜率为定值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 07:18:41

过抛物线y^2=x上一点A(4,2),做倾斜角互补的两直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证直线BC的斜率为定值
过抛物线y^2=x上一点A(4,2),做倾斜角互补的两直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证直线BC的斜率为定值

过抛物线y^2=x上一点A(4,2),做倾斜角互补的两直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证直线BC的斜率为定值
【注:用“参数法”】
证明:
∵两点B,C均在抛物线y²=x上.
∴可设其坐标为:
B(b²,b) C(c²,c)
∴可得两条直线的斜率为
Kab=1/(b+2).Kac=1/(c+2)
由题设可知:
直线AB 与直线AC的斜率是互为相反数
∴[1/(b+2)]+[1/(c+2)]=0
通分,整理可得:
[(b+c)+4]/[(b+2)(c+2)]=0
∴必有(b+c)=-4
又直线BC的斜率Kbc=1/(b+c)=-1/4
∴直线BC的斜率为定值-1/4

呵呵,好久没看过高中解析几何了,不过这个不复杂

设B(x1,y1),C(x2,y2)
则:y1^2=x1,y2^2=x2
y1^2-y2^2=x1-x2
Kbc=(y1-y2)/(x1-x2)=1/(y1+y2)
同理:Kac=1/(2+y2),Kbc=1/(2+y1)
两条直线AB、AC倾斜角互补
Kac=-Kbc
2+y2=-(1+y1)
y1+y2=-3
所以,直线BC的斜率=1/(y1+y2)=-1/3

设B(x1,y1),C(x2,y2)
则:y1^2=x1,y2^2=x2
y1^2-y2^2=x1-x2
Kbc=(y1-y2)/(x1-x2)=1/(y1+y2)
同理:Kac=1/(2+y2),Kbc=1/(2+y1)
两条直线AB、AC倾斜角互补
Kac=-Kbc
2+y2=-(1+y1)
y1+y2=-3
所以,直线BC的斜率=1/(y1+y2)=-1/3
所以直线BC的斜率为定值

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