用数学归纳法证明不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 02:00:44

用数学归纳法证明不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n
用数学归纳法证明不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n

用数学归纳法证明不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n
第一步
当n=1时,有(2+4)/2=3;
当n=2时,有(4+16)/2>3.
综上,有
当n=1时,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n成立.
第二步
假设n=k时,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n成立.
即(2^k+4^k)/2 >=3^k.
则n=k+1时,
[2^(k+1)+4^(k+1)]/2
=(2*2^k+4*4^k)/2
=(2*2^k+4^k+3*4^k)/2
=(2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k.
由归纳假设,不等式 (2^k+4^k)/2 >=3^k成立.

4^k≥3^k.(此不等式 的成立也可用数学归纳法证明,或由指数函数的性质得到.略)
⇒(3/2)*4^k≥3^k
⇒(2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k≥3^k+3^k=3^(k+1)
⇒[2^(k+1)+4^(k+1)]/2 ≥3^k+3^k=3^(k+1)
⇒n=k+1时,
不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n也成立.
∴对任意自然数N,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n都成立.
附:
取对数法证明不等式4^k≥3^k.
∵4^k>0,3^k>0.k为正整数.
又4>3
⇒lg4>lg3
⇒klg4>klg3
⇒lg(4^k)>lg(3^k)
由y=lgx在定义域内为增函数
⇒4^k>3^k.
k=0时,4^k=3^k=1.
∴对任意自然数N,不等式4^k≥3^k都成立.

当n=1时 左边=(2+4)/2=3 右边=3 成立
当n=k时 (2^k+4^k)/2 => 2^(k-1)+2^(2k-1) >= 3^k
当n=k+1时 [2^(k+1)+4^(k+1)]/2 = 2^k+2^(2k+1) = 2[2^(k-1)+2^(2k-1)+2^(2k-1)]
>= 2[3^k+2^(2k-1)]= 2*3^k...

全部展开

当n=1时 左边=(2+4)/2=3 右边=3 成立
当n=k时 (2^k+4^k)/2 => 2^(k-1)+2^(2k-1) >= 3^k
当n=k+1时 [2^(k+1)+4^(k+1)]/2 = 2^k+2^(2k+1) = 2[2^(k-1)+2^(2k-1)+2^(2k-1)]
>= 2[3^k+2^(2k-1)]= 2*3^k+2^2k ——(1)
因为2^2k> 2^(k-1)+2^(2k-1) >= 3^k
所以(1)>= 2*3^k+3^k=3^(k+1)
则不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n

收起

(2^n+4^n)/2 >=3^n <=> (2^n+4^n) >= 2(3^n)
当n=1 2+4 >= 2 x 3
假设n=k 是真的 则 (2^k+4^k) >= 2(3^k) .......(a)
现考虑
(2^(k+1)+4^(k+1)) >= 2(3^(k+1)) => 2x2^k + 4x 4^k = 2(2^k+4^k)+ 2x4^k >=4x3^k+ 2x4^k
>=4x3^k+ 2x3^k=6x3^k> 2x3x3^k= 2(3(^k+1))...............(b)
合并(a) 和(b)