作业帮证明sin x+cos x的最大值等于 根号2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 21:47:42
证明sin x+cos x的最大值等于 根号2
证明sin x+cos x的最大值等于 根号2
证明sin x+cos x的最大值等于 根号2
sin x+cos x=√2(sin xcos45°+cos xsin45°)=√2sin(x+45°)
又sin(x+45°)的最大值是1
所以√2sin(x+45°)的最大值是√2
即sin x+cos x的最大值等于 根号2
sinx+cosx=根号2倍sin(x+45度）小于等于根号2
sin x+cos x=√2sin(x+Θ)
因为sin(x+Θ) ≤1，
所以sin x+cos x≤根号2
sin x+cos x=√2(√2/2sin x+√2/2cos x)=√2sin(x+45)<=√2
用化一公式,正弦的和角公式,原式=根号2sin(x 45。)而sin(x 45)最大值为1.所以…就是问题中的根号2
≥ ∈ √ ≥ ∈ ≤
要使sinx+cosx取得最大值，必须有 x∈[2nπ，2nπ+π/2]
因此sinx≥0 cosx ≥0
因为 (sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x ≤1+1=2
所以sinx+cosx ≤√ 2
当且仅当sinx=cosx时，也就是当 x=2n...
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≥ ∈ √ ≥ ∈ ≤
要使sinx+cosx取得最大值，必须有 x∈[2nπ，2nπ+π/2]
因此sinx≥0 cosx ≥0
因为 (sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x ≤1+1=2
所以sinx+cosx ≤√ 2
当且仅当sinx=cosx时，也就是当 x=2nπ+π/2 (n为整数）时，等号成立
因此sinx+cosx的最大值是√ 2
收起
∵sinx+cosx=√2[sin(x+π/4)]≤√2 ∴当x=π/4+2kπ，k为整数时 sinx+cosx的最大值为√2
请记住这个公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+arctanb/a)
这样sin x+cos x=√(1^2+1^2)sin(x+arctan1/1)=√2sin(x+45)<=√2
根据这个公式再倒推过去就能得解
用辅助角公式……