已知a+b+c=1求证 ab+bc+ac小于等于1/3

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 06:19:07

已知a+b+c=1求证 ab+bc+ac小于等于1/3
已知a+b+c=1求证 ab+bc+ac小于等于1/3

已知a+b+c=1求证 ab+bc+ac小于等于1/3
证明:
∵a+b+c=1
∴(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1
∵a²+b²≧2ab,a²+c²≧2ac,b²+c²≧2bc
∴2(a²+b²+c²)≧2ab+2ac+2bc
∴a²+b²+c²≧ab+ac+bc
∴3ab+3ac+3bc≧1
∴ab+bc+ac≦1/3

a+b+c=1
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(不会证明的话,两边同时乘以2,a^2+b^2≥2ab)
∴ab+bc+ac≤1/3