作业帮证明:若a和10互素,则a的(100n+1)次幂和a模1000同余,n=0,1,2……
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:51:03
证明:若a和10互素,则a的(100n+1)次幂和a模1000同余,n=0,1,2……
证明:若a和10互素,则a的(100n+1)次幂和a模1000同余,n=0,1,2……
证明:若a和10互素,则a的(100n+1)次幂和a模1000同余,n=0,1,2……
AAA题：
证明:若a和10互素,则a的(100n+1)次幂和a模1000同余,n=0,1,2…
证：
125 的欧拉函数值 是 100
8 的欧拉函数值是 4
（备用：
10的欧拉函数值是φ(10)= 4
1000的欧拉函数值 是 400
）
由欧拉函数（我称之为既约剩余计数函数,或缩系计数函数,见下面注释）的性质定理,
当a与10互素时,即a与8、a与125均互素,即有,
a^4==1 mod 8,从而a^100== 1 mod 8
a^100==1 mod 125
于是显然有：（不必用中国剩余定理,看得出来)
a^100==1 mod 8*125 =1 mod 1000
故a^(100n+1)==a mod 1000
BBB 数论术语参考：
双等号==
为方便打字而引入,用以取代三线等号≡,可用作同余关系符号.
最大公约数gcd(a,m),有时简记作(a,m)：
a,m二者的最大公约数,最大公因数,最大公因子.为防混淆,有资料写作gcd(a,m)或gcf(a,m),英文全文为great common divisor或great common factor.
既约⊥,a⊥m,a与m既约,不可约,互质,互素：
既约,或称不可约,或称互质,或称互素,a,m既约,记作a⊥m或(a,m)=1即a,m二者的最大公约数为1,已经约去公因子到不可再约了.
剩余类,同余类：
集合 {a+mk,k为任意整数} 称为m的a类剩余类,其中各元素对于模m是同余的,在同余意义上是等价的,故也称为同余类,同时,任何一个元素均可作全部元素之代表,任何一个元素称为剩余类的代表元,代表数,或代表.
既约剩余类,不可约剩余类,素剩余类：
集合 {a+mk,k为任意整数,a与m互质} 称为m的a类既约剩余类,或称不可约素剩余类,或称素剩余类
既约剩余系,素剩余系,简化剩余系,缩剩余系,缩系,简化系Z_(m)：
以不大于m且与m互质的正整数为代表元的剩余类构成的系列,是一种特殊的集合(系列型集合).
既约剩余系代表集
在既约剩余系的每个剩余类中各取一个代表元所构成的集合.
特别注意,在同余意义（同余等价性）上,将一个剩余系用其中一个代表数全权代表,此时,既约剩余系代表集与既约剩余系二者不必区分.
最小既约剩余代表集z_(m)：
不大于m且与m互质的正整数构成的集合.
φ(m),即欧拉函数,我称之为m的既约剩余计数函数,或m的素剩余计数函数,或m的缩系计数函数.
是不大于m且与m互质的正整数的个数之计数.我称之为m的既约剩余计数函数,或m的素剩余计数函数,或m的缩系计数函数.因为欧拉是大数学家,也是大物理学家,命名为欧拉函数、欧拉定理的太多了,给一下特定称呼不致于混淆.