作业帮求积分∫(arcsinx)dx/[(1-x^2)^(1/2)],其中积分上限是1,积分下限是0,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 18:57:59
求积分∫(arcsinx)dx/[(1-x^2)^(1/2)],其中积分上限是1,积分下限是0,
求积分∫(arcsinx)dx/[(1-x^2)^(1/2)],其中积分上限是1,积分下限是0,
求积分∫(arcsinx)dx/[(1-x^2)^(1/2)],其中积分上限是1,积分下限是0,
∵∫arcsinxdx/√(1-x²)=[(arcsinx)²]│-∫arcsinxdx/√(1-x²) (应用分部积分法)
==>2∫arcsinxdx/√(1-x²)=[(arcsinx)²]│ (把∫arcsinxdx/√(1-x²)移项)
∴∫arcsinxdx/√(1-x²)=(1/2)[(arcsinx)²]│
=(1/2)((π/2)²-0²)
=π²/8
本题用换元法最方便：令x=sint 则t=arcsinx
原式变为：∫td(sint)/[(1-(sint)^2)^(1/2)]，上限x=1也就是t=π/2，下限x=0也就是t=0
在积分范围内cost>0，所以[(1-(sint)^2)^(1/2)]可化简为cost
分子项 dsint = cost dt
所以，原式=∫tdt，上限t=π/2，下限t=0。
全部展开
本题用换元法最方便：令x=sint 则t=arcsinx
原式变为：∫td(sint)/[(1-(sint)^2)^(1/2)]，上限x=1也就是t=π/2，下限x=0也就是t=0
在积分范围内cost>0，所以[(1-(sint)^2)^(1/2)]可化简为cost
分子项 dsint = cost dt
所以，原式=∫tdt，上限t=π/2，下限t=0。
原函数用 (t^2)/2即可，不再赘述。
收起
第一类换元法。∫(1-x^2)^(1/2)dx=arcsinx+c。孩纸，首先要熟悉课本、公式啊。