作业帮已知实数a>0,求函数y=2sinxcosx+a(sinx+cosx)的最小值如题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 17:04:18
已知实数a>0,求函数y=2sinxcosx+a(sinx+cosx)的最小值如题
已知实数a>0,求函数y=2sinxcosx+a(sinx+cosx)的最小值
如题
已知实数a>0,求函数y=2sinxcosx+a(sinx+cosx)的最小值如题
这个题稍稍有些难度,我给你写前半部分的过程,相信后面的你就会了.
我们知道（sinx+cosx）^2=sinx^2+cosx^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx
则2sinxcosx=(sinx+cosx）^2-1
带入上式子可得
原式=(sinx+cosx）^2-1+a(sinx+cosx)=(sinx+cosx）^2+a(sinx+cosx)-1
零(sinx+cosx)=t 其中 t属于（-√2,√2） ps：这里用诱导公式,提取√2即可等于t=√2sin（x+π/4） 可得t的范围
原式=t^2+at-1 其中 t属于（-√2,√2）
这样原式就化为一个字母的一元二次函数,对称轴为-a/2
1 如果-a/2在区间（-√2,√2）的右侧,则最小值在√2取得,带入得最小值为√2a+1
2 如果-a/2在区间（-√2,√2）的中间,则最小值在对称轴-a/2取得,带入得最小值为-a^2/2-1
3 如果-a/2在区间（-√2,√2）的作侧,则最小值在对称轴-√2取得,带入得最小值为-√2a+1
一不小心给你做完了 ,你看看吧 不懂的给我留言
y=(sinx+cosx)^2-1+a(sinx+cosx)=(sinx+cosx+a/2)^2-1-a^2/4
a>0时，sinx+cosx最大时，Y最大。
而当sinx=cosx=(根号2)/2时Y最大，此时y=(根号2+a/2)^2-1-a^2/4=1+a*根号2
y=2sinxcosx+a(sinx+cosx)
=sin²x+cos²x-1+2sinxcosx+a(sinx+cosx)
=(sinx+cosx)²+a(sinx+cosx)-1
=(sinx+cosx+a/2)²-a²/4-1
sinx+cosx=√2sin(π/4+x) 当π/4+x=2nπ-π/2 即 x=2nπ-3π/4 时
sinx+cosx 最小=-√2
此时y最小=（-√2+a/2)²-a²/4-1=1-a√2