作业帮a、b、c为正实数,a+b+c=1,y=(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2.求y最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 14:35:43
a、b、c为正实数,a+b+c=1,y=(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2.求y最小值.
a、b、c为正实数,a+b+c=1,y=(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2.求y最小值.
a、b、c为正实数,a+b+c=1,y=(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2.求y最小值.
别听二楼瞎说,要用什么导数（虽然也是个办法）,用柯西不等式就可以了.
证明如下：
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]*(1+1+1)>=(a+b+c+1/a+1/b+1/c)^2 (柯西不等式)
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2 >=[(1+1/a+1/b+1/c)^2]/3
因为 3/(1/a+1/b+1/c)<=(a+b+c)/3=1/3 (基本不等式)
所以 1/a+1/b+1/c>=9
所以 (a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2 >=[(1+9)^2]/3=100/3
12
因为三项都是平方项，所以函数值最小就要每一项最小。
a+1/a=(根号a)^2+(1/根号a）^2≥2*(根号a)*(1/根号a）=2
平方之后为4，后两项以此类推
显然不可能是12
y=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+6
本题应该是道竞赛题，如果要用中学方法做，会很复杂，如果你学了导数，你可以这么做：
设f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+t(a+b+c)
将f(a,b,c)分别对a b c求偏导，并令之为0得：
2a-2/a^3+t=0,2b-2/...
全部展开
显然不可能是12
y=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+6
本题应该是道竞赛题，如果要用中学方法做，会很复杂，如果你学了导数，你可以这么做：
设f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+t(a+b+c)
将f(a,b,c)分别对a b c求偏导，并令之为0得：
2a-2/a^3+t=0,2b-2/b^3+t=0,2c-2/c^3+t=0,a+b+c=1
解得：a=b=c=1/3（唯一解）因为y有最小值
故当a=b=c=1/3时，y取得最小值
y最小值为100/3
收起
由柯西不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=(1+1+1)^2=9
a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c>=9
又由柯西不等式
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
>=[(a+1/a)*1+(b+1/b)*1+(c+1/c)]^2
=...
全部展开
由柯西不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=(1+1+1)^2=9
a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c>=9
又由柯西不等式
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
>=[(a+1/a)*1+(b+1/b)*1+(c+1/c)]^2
=[(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]^2
=[1+(1/a+1/b+1/c)]^2
>=(1+9)^2=100
即3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3
所以最小值=100/3
收起