数学基本不等式三角形ABC中,A＝60°,BC＝√3,求面积的最大值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 14:39:30

数学基本不等式三角形ABC中,A＝60°,BC＝√3,求面积的最大值
数学基本不等式
三角形ABC中,A＝60°,BC＝√3,求面积的最大值

数学基本不等式三角形ABC中,A＝60°,BC＝√3,求面积的最大值
设a=BC,b=AC,c=AB
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2+c^2-bc=3
bc+3=b^2+c^2>=2bc
bc

利用余弦定理，找到b和c的关系，利用s等于二分之一的bcsinA就行

提示：从B点作BD垂直AC于点D.

cos60=（b∧2+c∧2－3）/（2bc）再用基本不等式得bc≤3,所以面积S=1/2bcsin60≤3√3/4

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作AD垂直于BC，设AD=y，角BAD=x，则面积S为：
S=y*√3/2，且tg(x)*y+tg(60-x)*y=√3
S最大即y最大，即y=√3/(tg(x)+tg(60-x))最大，即tg(x)+tg(60-x)最小。
根据tg(x)+tg(60-x)关于30的对称性，分别取x=0和x=60，可以知道tg(x)+tg(60-x)均为√3，而x=30时，tg(x)+tg(60-x)=2√3/3<√3，因而是最小值。
因此，当ABC为等腰三角形，即等边三角形是面积最大，即x=30，y=1.5，所以：
Smax=√3/2*3/2=3√3/4。

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