作业帮1到100的平方和1到100的立方是多少拜托各位大神
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 08:21:55
1到100的平方和1到100的立方是多少拜托各位大神
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用归纳法证明 证明1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6 1,N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 2,N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 3,设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋……＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6 则当N＝x＋1时, 1＋4＋9＋……＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2 ＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6 ＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6 ＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6 ＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6 也满足公式 4,综上所述,平方和公式1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6成立,得证. 所以1-100平方和=100（101）（201）/6=338350 归纳法证明:（1）当n=1时,显然成立 （2）用归纳法证明1^3+2^3+~~~~~+n^3 =[n(n+1)/2]^2 设n=k时成立,则1^3+2^3+~~~~~+k^3=[k(k+1)/2]^2 当n=k+1时,1^3+2^3+~~~~~+k^3+(k+1)^3 =[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3 =(k+1)^2[(k/2)^2+k+1] =(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4] =(k+1)^2[(k+2)/2]^2 =(k+1)^2{[(k+1)+1]/2}^2 即n=k+1时也满足 综合(1)(2)知 1^3+2^3+~~~~~+n^3 =[n(n+1)/2]^2 1到100的立方=[100(100+1)/2]^2 =25502500
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