证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 06:00:52

证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方

证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
不失一般性,设双曲线方程为：x^2/a^2－y^2/a^2＝1,得：
该双曲线的焦点坐标是F1（－√2a,0）、F2（√2a,0）,该双曲线中心坐标为O（0,0）.
令A（m,n）是该双曲线上的一点.则：
｜AF1｜＝√［（m＋√2a）^2＋n^2］,｜AF2｜＝√［（m－√2a）^2＋n^2］.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝√｛［（m＋√2a）^2＋n^2］［（m－√2a）^2＋n^2］｝
＝√［（m^2－2a^2）^2＋（m^2＋2a^2＋2√2am＋m^2＋2a^2－√2am）n^2＋n^4］
＝√［m^4－4a^2m^2＋4a^4＋（2m^2＋4a^2）n^2＋n^4］
＝√（m^4＋2m^2n^2＋n^4＋4a^4－4a^2m^2＋4a^2n^2）
＝√［（m^2＋n^2）^2＋4a^4－4a^2（m^2－n^2）］
显然,m、n满足双曲线方程,∴m^2/a^2－n^2/a^2＝1,∴m^2－n^2＝a^2.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝√［（m^2＋n^2）^2＋4a^4－4a^2（a^2）］＝m^2＋n^2.
而｜AO｜^2＝（m－0）^2＋（n－0）^2＝m^2＋n^2.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝｜AO｜^2.　　证明完毕.

已经有好答案了。

等轴双曲线有e=√2
等轴双曲线方程为x²-y²=a²；
设该点坐标为(x0，y0)
左焦半径：r1=(ex0+a)　 　　
右焦半径：r2=(ex0-a)
r1*r2=2x0²-a²
而点到双曲线中心距离的平方为x0²+y0²；
对于双曲线有x0²-y0...

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等轴双曲线有e=√2
等轴双曲线方程为x²-y²=a²；
设该点坐标为(x0，y0)
左焦半径：r1=(ex0+a)　 　　
右焦半径：r2=(ex0-a)
r1*r2=2x0²-a²
而点到双曲线中心距离的平方为x0²+y0²；
对于双曲线有x0²-y0²=a²
以上联立不难看出2x0²-a²=x0²+y0²；
所以命题得证

收起

证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方 证明题：从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方 求证:等轴双曲线上一点到双曲线中心的距离是它到焦点距离的等比中项 证明等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的比例中项 【等轴双曲线问题】1.为什么等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项.2.1.为什么等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项.2.等轴双 求证:如果双曲线上的任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的等比中项,那么此双曲线为等轴双曲线 已知等轴双曲线x^2-y^2=a^2及其上一点P,求证：P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之和等于多少 求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项 双曲线 到两个定点的距离差是定值 迷糊着呢,拉链的那个也看不懂为什么两个焦点到双曲线上任意一点距离差事定值 已知等轴双曲线上有一点p到中心的距离是2,则点p到两个焦点的距离之积是多少? 求证双曲线x^2-y^2=r^2上的任意一点p到两个焦点的距离之积等於p至双曲线的中心之距离的平方 等轴双曲线右支上一点到原点的距离为2,则该点到各焦点距离的积为多少 已知焦点在x轴上的双曲线上一点P,到双曲线两个焦点的距离分别是4和8……已知焦点在x轴上的双曲线上一点P,到双曲线两个焦点的距离分别是4和8,直线y=x-2被双曲线截得的弦长为20√2,求此双 双曲线上的一点到焦点的距离与到准线的距离有什么关系 双曲线上的一点到焦点的距离与到准线的距离有什么关系? 设p为等轴双曲线x^2-y^2=1上的一点,F1,F2是两个焦点,证明lpfl*lpf2l=lopl^2 已知等轴双曲线X的平方-Y的平方=A的平方及其上一 点P 求证:P到它两个焦点距离的积等于P到双曲线的中心距离