作业帮λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求证α1,α2线性无关.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 15:47:50
λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求证α1,α2线性无关.
λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求证α1,α2线性无关.
λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求证α1,α2线性无关.
证明:设 k1α1+k2α2=0 (1)
等式两边左乘A得 k1Aα1+k2Aα2=0
由已知得 k1λ1α1+k2λ2α2=0 (2)
λ1*(1) - (2)
k2(λ1-λ2)α2=0
因为α2是特征向量,故不等于0
所以 k2(λ1-λ2)=0
而 λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值
所以 k2=0
代入(1)知k1=0.
故α1,α2线性无关
定理：属于不同特征值的特征向量是线性无关的
证明：对特征值的个数做数学归纳法。由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性无关。现在设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，
我们证明属于k+1个不同特征值λ1,λ2,...,λ(k+1)的特征向量ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)也线性无关。
假设有关系式a1ξ1+a2ξ2+...+akξk+a(k+1)ξ(k+1)=0...
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定理：属于不同特征值的特征向量是线性无关的
证明：对特征值的个数做数学归纳法。由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性无关。现在设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，
我们证明属于k+1个不同特征值λ1,λ2,...,λ(k+1)的特征向量ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)也线性无关。
假设有关系式a1ξ1+a2ξ2+...+akξk+a(k+1)ξ(k+1)=0（1）成立，等式两端乘以λ(k+1)得：
a1λ(k+1)ξ1+a2λ(k+1)ξ2+...+akλ(k+1)ξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（2）
（1）式两端同时作用A，即有
a1λ1ξ1+a2λ2ξ2+...+akλkξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（3）
（3）减去（2）得到
a1(λ1-λ(k+1))ξ1+...+a(k+1)(λk-λ(k+1))ξ(k+1)=0
根据归纳法假设，ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)线性无关，于是ai(λi-λ(k+1))=0,i=1,2,...,k.
但λi-λ(k+1)≠0(i≤k)，所以ai=0，i=1,2,...,k.
这时（1）式变为a(k+1)ξ(k+1)=0.又因为ξ(k+1)≠0，所以只有a(k+1).
这就证明了ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)线性无关。
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