已知sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin²β,求证:2cos2α=cos2β.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 05:51:35

已知sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin²β,求证:2cos2α=cos2β.
已知sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin²β,求证:2cos2α=cos2β.

已知sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin²β,求证:2cos2α=cos2β.
∵sinθ+cosθ=2sinα
∴(sinθ+cosθ)²=(2sinα)²
==>sin²θ+cos²θ+2sinθ*cosθ=4sin²α
==>1+2sinθ*cosθ=4sin²α
∵sinθ·cosθ=sin²β
∴1+2sin²β=4sin²α
==>1+1-cos(2β)=2(1-cos(2α))
==>2-cos(2β)=2-2cos(2α)
==>-cos(2β)=-2cos(2α)
==>2cos(2α)=cos(2β)
故原命题成立,证毕.