作业帮一道初中数学竞赛题（关于最大值的代数题）n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件,1＝a1＜a2＜…＜an＝2009,a1,a2,…,an中任意 n－1 个不同数的算术平均数都是正整数,求 n 的最大值．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 18:16:33
一道初中数学竞赛题（关于最大值的代数题）n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件,1＝a1＜a2＜…＜an＝2009,a1,a2,…,an中任意 n－1 个不同数的算术平均数都是正整数,求 n 的最大值．
一道初中数学竞赛题（关于最大值的代数题）
n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件,1＝a1＜a2＜…＜an＝2009,a1,a2,…,an中任意 n－1 个不同数的算术平均数都是正整数,求 n 的最大值．
一道初中数学竞赛题（关于最大值的代数题）n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件,1＝a1＜a2＜…＜an＝2009,a1,a2,…,an中任意 n－1 个不同数的算术平均数都是正整数,求 n 的最大值．
由题意可知,n个数中任意n-1个数之和都能被（n-1)整除,设前n-1项之和为k(n-1),即前(n-1)项平均数为k（k为整数）
即a1+a2+a3+...+a(n-1)=k(n-1),这时假使把这个等式中的a(n-1)替换为an,因为an>a(n-1),所以平均数应该变大,又因为平均数为整数,所以平均数至少增大1,即a1+a2+...+a（n-2）+an=(k+p)(n-1) p=1,2,3...这两个等式比较,不难看出an=a(n-1)+p(n-1) p=1,2,3...(注：因为输入不太方便,上述等式中a(n-1)的括号表示第n-1项,后面的括号表示乘法,注意分辨）,也就是说an至少比a(n-1)大 一倍的n-1 ,再把第二个式子中a(n-2)换为a(n-1),可以得到同样结论,也就是a（n-1）至少比a(n-2)大 一倍的n-1.依此类推最终得到an-a1至少为n-1倍的n-1 (即为了使数列项数最多,使数列更紧凑,每一项只比前一项大一倍的n-1,即p始终为1）所以在此种情况下an=a1+(n-1)*(n-1),即an=a1+(n-1)^2,因为an