设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过p(1,0),且在p点处的切线斜率为2证明:f(x)小于等于2x-2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 03:26:44

设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过p(1,0),且在p点处的切线斜率为2证明:f(x)小于等于2x-2
设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过p(1,0),且在p点处的切线斜率为2
证明:f(x)小于等于2x-2

设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过p(1,0),且在p点处的切线斜率为2证明:f(x)小于等于2x-2
因为函数过(1,0),带进去得1 + a = 0,所以a = -1
对 f 进行求导得f'(x) = 1 + 2ax + b/x,因为在p点切线斜率为2
所以f'(1) = 2,所以有1 + 2a + b = 2,解得b = 3
所以f(x)=x - x² + 3lnx
令g(x)= (2x - 2)- f(x)= x² + x - 3lnx - 2
显然定义域为(0,正无穷)(lnx后面的x要非负)
求导得g'(x)= 2x + 1 - 3/x
令g'(x)= 0,所以2x + 1 - 3/x = 0,同乘以x,2x² + x - 3 = 0
(2x + 3)(x - 1)= 0,x = 1
可以判断,g在0到1之间导数为负数,所以递减
g在1到正无穷之间导数为正数,所以递增,所以g在0到正无穷上最小值在1上取到
所以g(1)= 2 + 1 - 3 = 0
故g ≥ 0
所以f(x)≤ 2x - 2在定义域上恒成立

将p带入函数可得a =-1
求导函数将x=1 y =2带入得b =3
将求得的函数减2x -2得新函数再求其导,因为x 大于零,所以极大值在x =1处取到,把1带入新函数得y 最大得0,即此时函数减2x -2最大等于0既函数小于等于它

ax2是2ax还是ax^2

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