作业帮AB为圆O的直径,弦CD平行AB,连结AD,并延长交圆O过B点的切线于E,作EG垂直AC于G.求证：AC=CG.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 18:09:33
AB为圆O的直径,弦CD平行AB,连结AD,并延长交圆O过B点的切线于E,作EG垂直AC于G.求证：AC=CG.
AB为圆O的直径,弦CD平行AB,连结AD,并延长交圆O过B点的切线于E,作EG垂直AC于G.求证：AC=CG.
AB为圆O的直径,弦CD平行AB,连结AD,并延长交圆O过B点的切线于E,作EG垂直AC于G.求证：AC=CG.
证明：
连接BC,BG
∵AB是圆O的直径,BE是切线
∴ACB=∠ABE=90º
∵CD//AB
∴弧AC=弧BD
∴∠ABC=∠BAE
∵∠AEB+∠EAB=90º
∠GAB+∠ABC=90º
∴∠AEB=∠GAB
∵EG⊥AG,则∠AGE=∠ABE=90º
∴A,B,E,G四点共圆
∴∠AGB=∠AEB
∴∠AGB=∠GAB
∴AB=GB
∵BC⊥AG
∴AC=CG
证明：连结BC交AE于点F ∵AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线 ∴△ABE是直角三角形 ∴∠ABE=90°=∠1+∠2；∠EAB+∠3=90° 又∵弦CD平行AB，∴四边形ABCD是等腰梯形 ∴∠2=∠EAB ∴∠EAB+∠3=∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 ∴BF=EF (等角对等边) 又∵∠2=∠EAB（已证） ∴AF=BF (等角对等边) ∴AF=EF, 即F是AE的中点 又∵AB是⊙O的直径 ∴∠4=90°(直径所对的圆周角为90° ) 又∵EG⊥AC（已知） ∴∠G=90° ∴BF//EG ∴CF是△AEG的中位线 ∴C是AG的中点 即AC=CG
证明：连结BC交AE于点F。
因为 AB是圆O的直径，BE是圆O的切线，
所以 角ABE=90度，
所以 角BEF+角FAB=角EBF+角FBA=90度，
因为 CD//AB，
所以 角FAB=角CEF，
又因为 角CEF=角FBA，
...
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证明：连结BC交AE于点F。
因为 AB是圆O的直径，BE是圆O的切线，
所以 角ABE=90度，
所以 角BEF+角FAB=角EBF+角FBA=90度，
因为 CD//AB，
所以 角FAB=角CEF，
又因为 角CEF=角FBA，
所以 角FAB=角FBA，FA=FB，
所以 角BEF=角EBF，FE=FB，
所以 FA=FE，
因为 AB是圆O的直径，
所以 角ACB=90度，BC垂直于AC，
因为 EG垂直于AC，
所以 BC//EG
因为 FA=FE，
所以 AC=CG。
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