如图,对面积为1的三角形ABC逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到三角形A1B1C1,记其面积为S1；第二次操作,分别延长A1B1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 20:15:13

如图,对面积为1的三角形ABC逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到三角形A1B1C1,记其面积为S1；第二次操作,分别延长A1B1
如图,对面积为1的三角形ABC逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,
使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到三角形A1B1C1,记其面积为S1；第二次操作,分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接A2、B2、C2,得到三角形A2B2C2,记其面积为S2；...；按此规律下去,可得到三角形A5B5C5,则其面积S5=——

如图,对面积为1的三角形ABC逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到三角形A1B1C1,记其面积为S1；第二次操作,分别延长A1B1
请看图.
先看三角形AA1CA.
(1)连接BC1,三角形ABC1与三角形ABC等高,底边为2倍的关系（AC1=2AC）,所以三角形ABC1的面积是三角形ABC的2倍,即2S.
(2)三角形A1BC1,它又与三角形ABC1等高,底边为2倍的关系（A1B=2AB）,所以三角形A1BC1的面积是三角形ABC1的2倍,即4S.
所以三角形AA1CA的面积是6S.
同理可得,三角形A1B1B和三角形B1CC1的面积都为6S.
所以三角形A1B1C1的面积是（6+6+6+1）S=19S.(S为三角形ABC的面积,S=1)
即S1=19
同理S2=19S1,S3=19S2...
所以S5=19S4=...=19^5=2476099

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面积2476099
过程正在制作，稍后
请先将第一个三角形△ABC，和第一个扩展三角形△A1B1C1画出来
△A1B1C1的面积可以看做是四个三角形的面积之和，分别是△ABC，△B1CC1,△A1AC1，△A1BB1,先对此△ABC 和△B1CC1看，两个三角形面积分别可以看做是BC为底和BB1为底，A到BC的高和C1到BB1的高，由题可知，△B1CC1的底是△ABC的2倍，△B1CC1的高是△ABC的3倍由三角形的面积公式1/2*底*高可知，△B1CC1的面积是△ABC的6倍。同样可知其他两个三角形也是△ABC的6倍，△A1B1C1面积就是19倍的△ABC面积，同样推理，△A2B2C2面积是19倍的△A1B1C1面积，他们构成了一个等比数列
1 ，19*1,19*19*1,19*19*19*1,19^4*1,19^5*1也就是△AnBnC面积=19^n*S(S为最小的三角形面积，△ABC可以看做是n=0),所以，如果你问第10个，就是19^10*1=631066257810

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连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，
因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，
因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，
设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，
同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，
则△A1B1B的面积是6a，
同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，
△A1B1C1的面积是19a，
即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，
同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，
即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，
依此类推，△A5B5C5的面积是S5=195=2476099．

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