作业帮f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f（x）在区间（0,e]的最小值是3 若存在 求a
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 14:55:31
f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f（x）在区间（0,e]的最小值是3 若存在 求a
f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f（x）在区间（0,e]的最小值是3 若存在 求a
f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f（x）在区间（0,e]的最小值是3 若存在 求a
设存在满足条件的a.
∵f（x）＝ax－lnx,∴f′（x）＝a－1/x,f″（x）＝1/x^2＞0.
∵f（x）在定义域范围内有最小值.
令f′（x）＝a－1/x＝0,得：1/x＝a,∴x＝1/a,∴f（x）在x＝1/a处有最小值.
∴f（1/a）＝1－ln（1/a）＝3,∴ln（1/a）＝－2,∴lna＝2,∴a＝e^2.
∴存在满足条件的a,且a＝e^2.
f′(x)=a-1/x,令f′(x)=0,x=1/a,
0
所以函数在x=1/a取得最小值。
最小值f(1/a)=a×(1/a)-lna=3, lna=-2,a=e^(-2),
显然有e^(-2)∈（0，e）所以
a=e^(-2)即为所求。
易知f(x)定义域为x>0
当a=0时，f(x)=-lnx，显然f(x)为减函数，区间(0,e]上fmin=f(e)=-1，与题不符
所以a≠0
对f(x)求导得f'(x)=a-1/x
当a<0时，显然f'(x)<0，则f(x)在定义域上为减函数，区间(0,e]上fmin=f(e)=ea-1
令ea-1=3，则a=4/e>0，矛盾
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易知f(x)定义域为x>0
当a=0时，f(x)=-lnx，显然f(x)为减函数，区间(0,e]上fmin=f(e)=-1，与题不符
所以a≠0
对f(x)求导得f'(x)=a-1/x
当a<0时，显然f'(x)<0，则f(x)在定义域上为减函数，区间(0,e]上fmin=f(e)=ea-1
令ea-1=3，则a=4/e>0，矛盾
所以a>0
令f'(x)=a-1/x=0，则x=1/a（极值点）
当a>0时，因0
若1/a>e即0
所以0<1/a≤e即a≥1/e
此时fmin=f(1/a)=1+lna
令1+lna=3，则a=e^2
经检验，a=e^2符合
综上，使f(x)在区间(0,e]的最小值是3的a存在，其值为a=e^2
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