作业帮如图,P拾射线y=3x/5（x>0）上一动点,以P为圆心的圆与y轴切于C点,与x轴正半轴交于A、B两点.是否存在直线l,当点P在射线上运动时,过A、B、C三点的抛物线顶点始终在同一直线l上?若存在,求出l解析
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 23:54:43
如图,P拾射线y=3x/5（x>0）上一动点,以P为圆心的圆与y轴切于C点,与x轴正半轴交于A、B两点.是否存在直线l,当点P在射线上运动时,过A、B、C三点的抛物线顶点始终在同一直线l上?若存在,求出l解析
如图,P拾射线y=3x/5（x>0）上一动点,以P为圆心的圆与y轴切于C点,与x轴正半轴交于A、B两点.
是否存在直线l,当点P在射线上运动时,过A、B、C三点的抛物线顶点始终在同一直线l上?若存在,求出l解析式；若不存在,说明理由.
如图,P拾射线y=3x/5（x>0）上一动点,以P为圆心的圆与y轴切于C点,与x轴正半轴交于A、B两点.是否存在直线l,当点P在射线上运动时,过A、B、C三点的抛物线顶点始终在同一直线l上?若存在,求出l解析
假设P(a,3a/5),a＞0.则⊙P的半径为a,因为它与y相切,故可知其半径；且C的坐标为(0,a).
可以过P向x作垂线交之于D,D的坐标为D(a,0)；则PD=3a/5,PA=PB=a,AD²=BD²=PA²-PD²=a²-(3a/5)²=(4a/5)²【勾股定理】,即AD=BD=4a/5,所以A、B的坐标分别为：A(a/5,0)、B(9a/5,0).此处不清楚可画图一看,实际上也可以先求出圆方程,然后再求交点A、B.
A(a/5,0)、B(9a/5,0)、C(0,a)三点为抛物线,可用交点式写出抛物线方程：y=k(x-a/5)(x-9a/5)【k＞0,k是系数】,且过C(0,a),代入知：a=k(a/5)(9a/5),即a=0(a＞0舍去)或a=25/9k,所以抛物线方程y=k(x-5/9k)(x-5/k)=(x-5/9k)(kx-5)=kx²-50x/9+25/9k
抛物线对称轴x=-b/2a=50/18k,ymin=(4ac-b²)/4a=c-b²/4a=25/9k-2500/324k=-400/81k.
即抛物线顶点坐标为(50/18k,-400/81k),由此可求直线l：y=mx+n过点(50/18k,-400/81k),-400/81k=50m/18k+n,可求出l的解析式.【值得注意的是,随着P的移动,会出现不同的k值,所以-400/81k=50m/18k+n不仅仅是一个方程,而是一个方程组,根据不同的k值求出m、n的值,如果它们与k无关,则命题可得成立.】
设P点坐标(m,3m/5)
则:C点坐标(0,3m/5)
AB中点为D,则PD垂直AB(即垂直X轴),D点坐标(m,0)
AD=(PA^2-PD^2)^(1/2)=(m^2-(3m/5)^2)^(1/2)=4m/5
所以:A点坐标(m/5,0), B点坐标(9m/5,0)
从对称角度来看,抛物线顶点必在AB的中垂线上,所以:顶点坐标(m,n)
所以,...
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设P点坐标(m,3m/5)
则:C点坐标(0,3m/5)
AB中点为D,则PD垂直AB(即垂直X轴),D点坐标(m,0)
AD=(PA^2-PD^2)^(1/2)=(m^2-(3m/5)^2)^(1/2)=4m/5
所以:A点坐标(m/5,0), B点坐标(9m/5,0)
从对称角度来看,抛物线顶点必在AB的中垂线上,所以:顶点坐标(m,n)
所以,抛物线方程: y-n=k(x-m)^2
将A点坐标(m/5,0)代入,得:
-n=16k(m^2)/25 -------------(1)
将C点坐标(0,3m/5)代入,得:
(3m/5)-n=k(m^2) -------------(2)
联立(1),(2),得:
n=(-16/15)m
因此,顶点坐标:
x=m
y=(-16/15)m
消去m,得:
y=(-16/15)x
此即为l的解析式,它是一条直线
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