两条抛物线y=x^2+2x+2 和y=x^2-4x+17与他们的公切线y=4x+1围成的图形的面积怎么求

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 03:23:00

两条抛物线y=x^2+2x+2 和y=x^2-4x+17与他们的公切线y=4x+1围成的图形的面积怎么求
两条抛物线y=x^2+2x+2 和y=x^2-4x+17与他们的公切线y=4x+1围成的图形的面积怎么求

两条抛物线y=x^2+2x+2 和y=x^2-4x+17与他们的公切线y=4x+1围成的图形的面积怎么求
第一个抛物线y'=2x+2;
第二个抛物线y'=2x-4;
设两个切点分别为P(x1,x1²+2x1+2)  Q(x2,x2²-4x2+17);
P点处斜率为2x1+2
直线方程为y=(2x1+2)(x-x1)+x1²+2x1+2=(2x1+2)x-x1²+2;
Q点处斜率为2x2-4
直线方程为y=(2x2-4)(x-x2)+x2²-4x2+17=(2x2-4)x-x2²+17;
两个直线是一样的于是
2x1+2=2x2-4
-x1²+2=-x2²+17
解之,得x1=1  x2=4
直线方程就是y=4x+1;
切点P(1,5);Q(4,17)
两个抛物线交点M(5/2,53/4); 
画图可以看出要求的面积就是
x²-4x+17-(4x+1)在(1,4)上的定积分减去x²-4x+17-(x²+2x+2)在(1,5/2)上的定积分
第一部分函数就是x²-8x+16 原函数为1/3x³-4x²+16x+c
定积分结果是S1=1/3(64-1)-4(16-1)+16(4-1)=9;
第二部分函数就是-6x+15 原函数为-3x²+15x
定积分结果是S2=-3(25/4-1)+15(5/2-1)=27/4;
所以阴影部分面积就是S1-S2=9-27/4=9/4;

先问一下,导数应该学过吧?

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