作业帮如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π/3的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记角COP=a,求当a取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 03:58:40
如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π/3的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记角COP=a,求当a取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π/3的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记角COP=a,
求当a取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π/3的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记角COP=a,求当a取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
如图,在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα,
在Rt△OAD中,DA OA =tan60°= 跟号3 ,所以OA= 根号3/ 3 DA= 根号3 / 3 BC=根号 3/ 3 sinα．
所以AB=OB-OA=cosα- 根号3 / 3 sinα．
设矩形ABCD的面积为S,则S=AB•BC=（cosα- 根号3 / 3 sinα）sinα=sinαcosα- 根号3 / 3 sin2α=1 /2 sin2α+ 根号3 / 6 cos2α- 根号3 / 6 =1 / 根号3 （ 根号3 / 2 sin2α+1/ 2 cos2α）- 根号3 / 6=1 / 3 sin（2α+π 6 ）- 根号3 / 6 ．
由于0＜α＜π 3 ,所以当2α+π 6 =π 2 ,即α=π 6 时,S最大=1 /根号 3 - 根号3 /6 =根号 3 / 6 ．
因此,当α=π 6 时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为 3 / 6 ．
教科书上的行吗？？
如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，DA OA =tan60°= 跟号3 ，所以OA= 根号3/ 3 DA= 根号3 / 3 BC=根号 3/ 3 sinα．
所以AB=OB-OA=cosα- 根号3 / 3 sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα- 根号3 / 3 sinα）sinα=s...
全部展开
如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，DA OA =tan60°= 跟号3 ，所以OA= 根号3/ 3 DA= 根号3 / 3 BC=根号 3/ 3 sinα．
所以AB=OB-OA=cosα- 根号3 / 3 sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα- 根号3 / 3 sinα）sinα=sinαcosα- 根号3 / 3 sin2α=1 /2 sin2α+ 根号3 / 6 cos2α- 根号3 / 6 =1 / 根号3 （ 根号3 / 2 sin2α+1/ 2 cos2α）- 根号3 / 6=1 / 3 sin（2α+π 6 ）- 根号3 / 6 ．
由于0＜α＜π 3 ，所以当2α+π 6 =π 2 ，即α=π 6 时，S最大=1 /根号 3 - 根号3 /6 =根号 3 / 6 ．
因此，当α=π 6 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 3 / 6 ．
收起