作业帮用数学归纳法证明1乘以n+2乘以(n-1)+3(n-2)+.+n乘以1=6分之1n(n+1)(n+2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 02:23:49
用数学归纳法证明1乘以n+2乘以(n-1)+3(n-2)+.+n乘以1=6分之1n(n+1)(n+2)
用数学归纳法证明1乘以n+2乘以(n-1)+3(n-2)+.+n乘以1=6分之1n(n+1)(n+2)
用数学归纳法证明1乘以n+2乘以(n-1)+3(n-2)+.+n乘以1=6分之1n(n+1)(n+2)
1、当n=1时,左边=1=右边,等式成立.
2、假设当n=k时等式成立,即
1*k+2(k-1)+3(k-2)+……+k*1=k(k+1)(k+2)/6
当n=k+1时,
1(k+1)+2k+3(k-1)+……+k*2+(k+1)*1
=(1*k+2(k-1)+3(k-2)+……+k*1)+[1+2+3+……+(k+1)]
=k(k+1)(k+2)/6+(k+1)(k+2)/2
=(k+1)(k+2)(k+3)/6
则命题成立.
综合1、2得
当n为任一正整数时,等式成立
1*n+2(n-1)+3(n-2)+……+n*1=n(n+1)(n+2)/6
用数学归纳法证明：
(1)n=1时，左边=1=右边，等式成立。
(2)假设n=k时等式成立，即
1*k+2(k-1)+3(k-2)+……+k*1=k(k+1)(k+2)/6
当n=k+1时，
1(k+1)+2k+3(k-1)+……+k*2+(k+1)*1
全部展开
1*n+2(n-1)+3(n-2)+……+n*1=n(n+1)(n+2)/6
用数学归纳法证明：
(1)n=1时，左边=1=右边，等式成立。
(2)假设n=k时等式成立，即
1*k+2(k-1)+3(k-2)+……+k*1=k(k+1)(k+2)/6
当n=k+1时，
1(k+1)+2k+3(k-1)+……+k*2+(k+1)*1
=(1*k+2(k-1)+3(k-2)+……+k*1)+[1+2+3+……+(k+1)]
=k(k+1)(k+2)/6+(k+1)(k+2)/2
=(k+1)(k+2)(k+3)/6,命题成立.
综合(1)(2)得
当n为任一正整数时，等式成立
当n=k+1时比n=k时多了1+2+3+4+5+6+……+k+（k+1）
可由等差数列计算公式的出1+2+3+4+5+6+……+k+（k+1）=(k+1)(k+2)/2
后面你已经可以算出了
用公式计算：
原式=n+2n-1*2+3n-2*3+4n-3*4+……n*n-(n-1)n
=（n+2n+3n+4n+……n*n）-[1*2+2*3+3*4+4*5+……+(n-1)n]
=n²(n+1)/2+[1²+2²+3²+。。。+﹙n-1﹚²+1+2+3+。。。+﹙n-1﹚
=n²(n+1)/2+n(n+1)(2n+1)/6+n(n-1)/2
=(n+1)(n+2)(n+3)/6
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