作业帮如何证明指数换底公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 00:14:29
如何证明指数换底公式
如何证明指数换底公式
如何证明指数换底公式
log(a)(b)表示以a为底的b的对数.
所谓的换底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
换底公式的推导过程：
若有对数 log(a)(b) 设a=n^x,b=n^y
则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)
根据 对数的基本公式log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 和 基本公式log(a^n)(M)=1/n×log(a)(M)
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] 性质： log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
推导如下：
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下：
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数
log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得:log(a)(b)×log(b)(a)=1
应该很全面了 ）
log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
令log(a)(b)=x
a^x=b
两边同取以n为底的对数
xlog(n)(a)=.log(n)(b)
x=log(n)(b)/log(n)(a).
即log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).是证明指数换底公式请问什么是指数换底公式？？？就是高一数学书上换底公式那一节...
全部展开
log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
令log(a)(b)=x
a^x=b
两边同取以n为底的对数
xlog(n)(a)=.log(n)(b)
x=log(n)(b)/log(n)(a).
即log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
收起