已知正实数a,b满足a+2b=1,则a²+4b²+1/ab的最小值为 (望有清晰的过程)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 06:40:26

已知正实数a,b满足a+2b=1,则a²+4b²+1/ab的最小值为 (望有清晰的过程)
已知正实数a,b满足a+2b=1,则a²+4b²+1/ab的最小值为 (望有清晰的过程)

已知正实数a,b满足a+2b=1,则a²+4b²+1/ab的最小值为 (望有清晰的过程)
设c=2b,则a+c=1
a²+4b²+1/ab=a²+c²+2/ac
∵a²+c²≥2ac
∴2(a²+c²)≥(a+c)²=1
∴a²+c²≥1/2
而2√(ac)≤a+c=1
∴ac≤1/4 => 1/ac≥4
∴a²+c²+2/ac≥1/2+8=17/2
当a=c=1/2,即b=1/4时,取到等号
∴a²+4b²+1/ab的最小值为17/2

﹙a²+4b²+1﹚/ab
=[﹙a+2b﹚²+1-2ab]/ab
=﹙2-2ab﹚/ab
=2/ab-2
=﹙2a+4b﹚/ab-2