作业帮四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.求该四面体的体积的最大值?当四面体的体积最大时,求其表面积?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 20:01:26
四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.求该四面体的体积的最大值?当四面体的体积最大时,求其表面积?
四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.求该四面体的体积的最大值?当四面体的体积最大时,求其表面积?
四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.求该四面体的体积的最大值?当四面体的体积最大时,求其表面积?
设四面体PA=PB=AB=AC=BC=a,PC=x,
可以看作正三角形ABC不动,而正三角形PAB沿轴AB转动,x（PC是变化的）,
取AB中点D,连结PD、CD,
∵△PAB和△CAB均是正△,
∴PD⊥AB,CD⊥AB,
∴AB⊥平面PDC,
VP-ABC=VB-PDC+VA-PDC=S△PDC*AB/3,
S△PDC=(PD*CD*sin<PDC)/2,
PD=CD=√3a/2,
当〈PDC=90°时正弦有最大值为1,
∴S△PDC（max)=(√3a/2)*(√3a/2)*1/2=3a^2/8,
∴V（max)=a*(3a^2/8)/3=a^3/8.
四面体的体积的最大值为a^3/8.
当体积最大时,有两个正三角形,两个等腰三角形,
S△PAB=S△ABC=√3a^2/4,
△PDC是RT等腰△,
PC=√2PD=√6a/2,
余弦定理,cos<PBC=(a^2+a^2-6a^2/4)/(2*a*a)=1/4,
sin<PBC=√15/4,
S△PBC=S△PAC=a*a*sin<PBC/2=√15a^2/8,
∴S=2*√3a^2/4+√15a^2/4
=（2√3+√15）a^2/4.
当四面体的体积最大时,其表面积为（2√3+√15）a^2/4.
底面是边长为a的等边三角形，三条棱中，两条长为a，一条为x
该四面体体积为SH/3，其中S为底面面积，H为该三棱锥的高
S=1/2*a*(a√3)/2=√3a²/4
当两条棱长为a组成的这个侧面垂直底面的时候，H取得最大值
此时的H=该侧面三角形中的高h=a√3/2
（当侧面不垂直于底面时，根据直角三角形斜边大于直角边可知，必有H＜h）
所...
全部展开
底面是边长为a的等边三角形，三条棱中，两条长为a，一条为x
该四面体体积为SH/3，其中S为底面面积，H为该三棱锥的高
S=1/2*a*(a√3)/2=√3a²/4
当两条棱长为a组成的这个侧面垂直底面的时候，H取得最大值
此时的H=该侧面三角形中的高h=a√3/2
（当侧面不垂直于底面时，根据直角三角形斜边大于直角边可知，必有H＜h）
所以体积最大值V=SH/3=√3a²/4*a√3/2/3=a³/8
此时四面体四个面分别是两个边长为a的等边三角形，两个腰长为a、底边为a√6/2的等腰三角形
面积S=2*√3a²/4+2*1/2*a√6/2*√(a²-6a²/16)
=√3a²/2+a√6/2*a√10/4=√3a²/2+√15a²/4=a²(2√3+√15)/4
计算过程自己再斟酌一下，没草稿，直接敲进来了，
方法肯定是对的，计算结果就不一定了……
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