求微分方程xy'+y=sinx满足条件当x＝π时y=0的特解求微分方程xy'+y=sinx满足条件当x=π 时y=0的特解请求列出详细步骤~!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 14:20:35

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求微分方程xy'+y=sinx满足条件当x＝π时y=0的特解
求微分方程xy'+y=sinx满足条件当x=π 时y=0的特解
请求列出详细步骤~!

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xy'+y=sinx
化为标准的一阶线性非齐次方程
y'+y/x=sinx/x
利用一阶线性非齐次方程的解的公式：
y=e^(∫-1/xdx)(c+[∫e^(∫1/xdx)*sinx/x])=(c-cosx)/x
又x=π 时y=0
则(c+1)/π=0
则c=-1
则y=-(1+cosx)/x

xy'+y=sinx两边同时除以x得
y'+y/x=(sinx)/x,两边再乘以e^(lnx)得
e^(lnx)*y'+e^(lnx)*y/x=e^(lnx)*(sinx)/x
所以[e^(lnx)*y]'=e^(lnx)*(sinx)/x
两边积分得
e^(lnx)*y=-cosx+C （C为任意常数）
y=(-cosx+C)/x

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xy'+y=sinx两边同时除以x得
y'+y/x=(sinx)/x,两边再乘以e^(lnx)得
e^(lnx)*y'+e^(lnx)*y/x=e^(lnx)*(sinx)/x
所以[e^(lnx)*y]'=e^(lnx)*(sinx)/x
两边积分得
e^(lnx)*y=-cosx+C （C为任意常数）
y=(-cosx+C)/x
令x=π，y=0得C=-1
所以微分方程xy'+y=sinx满足条件x＝π，y=0的特解为y=(-cosx-1)/x

收起

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