在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=根号3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形（1）求证：AD垂直BC（2）求二面角BACD的平面角的余弦值（3）在直线AC上是否存在一点E

在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=根号3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形（1）求证：AD垂直BC（2）求二面角BACD的平面角的余弦值（3）在直线AC上是否存在一点E
在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=根号3,BD=CD=1,
另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD垂直BC（2）求二面角BACD的平面角的余弦值（3）在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置；若不存在,说明理由.

在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=根号3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形（1）求证：AD垂直BC（2）求二面角BACD的平面角的余弦值（3）在直线AC上是否存在一点E
（1）做△ABC的高与BC交与点P,垂足为P
连接PD
∵AP⊥BC
∴∠APB=∠APC=∠APD=90°
∴△APD为RT△
∴AP、PD、AD在同一线上
∴AD⊥BC
（2）在RT△ABD
根据勾股定理得
AB=√2
cos ADB=BD/AD=1 /√3= √3 /3
cos BAD=AB/AD=√2 /√3= √6 /3

fhgfhgfhfghfghfghgf

（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．
AB⊥BD⇒HB⊥BD，又AD= 3 ，BD=1
∴AB= 2 =BC=AC
∴BD⊥DC
又BD=CD，则BHCD是正方形，
则DH⊥BC∴AD⊥BC
方法二：取BC的中点O，连AO、DO
则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD
∴BC⊥AD
（2）作BM⊥AC...

全部展开

（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．
AB⊥BD⇒HB⊥BD，又AD= 3 ，BD=1
∴AB= 2 =BC=AC
∴BD⊥DC
又BD=CD，则BHCD是正方形，
则DH⊥BC∴AD⊥BC
方法二：取BC的中点O，连AO、DO
则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD
∴BC⊥AD
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，因为AB=AC=BC= 2
∵M是AC的中点，则BM= 6 2 ，MN=1 2 CD=1 2 ，BN=1 2 AD= 3 2 ，由余弦定理可求得cos∠BMN= 6 3
∴∠BMN=arccos 6 3
（3）设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH，
∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，
则∠EDF=30°．
设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD= 1+x2 ，
∴tan∠EDF=EF FD =x 1+x2 = 3 3
解得x= 2 2 ，
则CE= 2 ，x=1
故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角．

收起

fghfghfghfghfghfghfghfghfrghgfgh

1、取BC中点H，连结AH、BH，

∵BD=CD，AB=AC，

∴AH⊥BC，DH⊥BC，

∵AH∩DH=H，

∴BC⊥平面AHD，

∵AD∈平面AHD，

∴AD⊥BC。

2、取AC中点M，AD中点N，连结MN、BN、BM，

∵MN是△ABC中位线，

∴MN//BC，

∵BC⊥AC，

∴MN⊥AC，

∵△ABC是正△，BM是中线，

∴BM⊥AC，

∴〈BMN是二面角B-AC-D的平面角，

MN=CD/2=1/2，

BM=√3AC=√6/2，

BN=AD/2=√3/2，

在△MNB中，根据余弦定理，

cos<BMN=(MN^2+BM^2-BN^2)/(2*MN*BM)

=(1/4+6/4-3/4)/(2*1/2*√6/2)=√6/3，

∴二面角B-AC-D的平面角的余弦值为√6/3。

3、前已说明BC⊥DH，BC⊥A，

∴〈DHA是二面角A-BC-D的平面角，

根据勾股定理逆定理，△BDC是等腰RT△，〈BDC=90°，

根据余弦定理，cos<DHA=-√3/3，

作AQ⊥平面BCD，垂足Q，则Q在DH的延线上，

cos<AHQ=√3/3，

HQ=AH*cos<AHQ=√2/2，AQ=1，

HQ=DH，

∴在平面BCD上，Q和D关于BC的对称点，

△BDQ也是等腰RT△，

DQ=BD=1，

设所求E点在平面BCD上的射影P，它在DQ上，

设EC=x,

CE/AC=EP/AQ,

x/√2=EP/1,

EP=√2x/2,

DE=√（CD^2+CE^2）=√（1+x^2）,

EP/DE=sin<EDP=sin30°=1/2，

（√2x/2）/√（1+x^2）=1/2，

x=1,

EC=1，

∴在直线AC上存在这样一点E，使ED与面BCD成30°角，

E点距C为1之处。