作业帮已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R),当x=2时,函数取得最大值2,其图象在x轴上截得线段长为2,求其解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 07:03:13
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R),当x=2时,函数取得最大值2,其图象在x轴上截得线段长为2,求其解析式
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R),当x=2时,函数取得最大值2,其图象在x轴上截得线段长为2,求其解析式
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R),当x=2时,函数取得最大值2,其图象在x轴上截得线段长为2,求其解析式
二次函数解析式y=-2x²+8x-6
知识储备：
二次函数y=ax²+bx+c (a≠0),顶点式[-b/2a,(4ac-b²)/4a]
韦达定理：对于关于x的方程ax²+bx+c=0,x1,x2是其两根
则有x1+x2=-b/a,x1•x1=c/a
由此可知,二次函数与一元二次方程可以互相转换,关于
x的方程ax²+bx+c=0,两根x1,x2 就是 二次函数y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标.
(x1-x2)²=(x1²+2x1•x2+x2²)-4x1•x2=(x1+x2)²- 4x1•x2
因为 当x=2时,函数取得最大值2
把x=2,y=2代入y=ax²+bx+c
得 2=4a+2b+c……①
由此也可知 (2,2)是二次函数顶点,且a＜0
所以 -b/2a=2……②
(4ac-b²)/4a=2……③
因为其图象在x轴上截得线段长为2,
设这两点坐标(x1,0)(x2,0)
则有 |x1-x2|=2
(x1-x2)²=4
(x1+x2)²- 4x1•x2=4
因为x1,x2也看作是方程ax²+bx+c=0两根
所以取x1+x2=-b/a,x1•x1=c/a代入
得 (b²/a²)-(4c/a)=4
(b²-4ac)/a²=4
(4ac-b²)/4a=-a
代入③,得 -a=2,a=-2
再代入②,得-b/-4=2,得b=8
再一起代入①,得2=-8+16+c
c=-6
所以a=-2,b=8,c=-6
所以二次函数解析式y=-2x²+8x-6
在x轴上截得线段长为2，则|X1|+|X2|=2~用韦恩定理求，再把X=2,Y=2代入~
另外也可以用导数求解，但根据题目难度，认为不是高中数学，故不赘述~