如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O重.如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 18:20:03

如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O重.如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O
如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O重.
如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD,AB分别x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发向点B方向匀速移动,设它们运动的时间为t秒（0≤ ≤2）,直线AB与该抛物线的交点为N（如图乙所示）.
①试说明点P始终在直线OM上；
②设以P,N,C,D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值：若不存在,请说明理由.

如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O重.如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O
（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2,4）,
故可设其关系式为y=a（x-2）2+4（1分）
又∵抛物线经过O（0,0）,
∴得a（x-2）2+4=0,（2分）
解得a=-1（3分）
∴所求函数关系式为y=-（x-2）2+4,
即y=-x2+4x．（4分）
（2）①点P不在直线ME上．（5分）
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4,0）,
又M的坐标为（2,4）,
设直线ME的关系式为y=kx+b．
于是得 ,
解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8．（6分）
由已知条件易得,当t= 时,OA=AP= ,
∴P（ ,）（7分）
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8．
∴当t= 时,点P不在直线ME上．（8分）
②S存在最大值．理由如下：（9分）
∵点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,
∴OA=AP=t．
∴点P,N的坐标分别为（t,t）、（t,-t2+4t）
∴AN=-t2+4t（0≤t≤3）,
∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0,
∴PN=-t2+3t（10分）
（ⅰ）当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,
∴S= DC•AD= ×3×2=3．（11分）
（ⅱ）当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形
∵PN‖CD,AD⊥CD,
∴S= （CD+PN）•AD= [3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3=-（t- ）2+
其中（0＜t＜3）,由a=-1,0＜＜3,此时S最大= ．（12分）
综上所述,当t= 时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积有最大值,这个最大值为．（13分）
说明：（ⅱ）中的关系式,当t=0和t=3时也适合．