作业帮已知椭圆x方/4+Y方=1,点A(1,1/2）一直线过原点交椭圆于BC,求三角形ABC最大面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 07:27:13
已知椭圆x方/4+Y方=1,点A(1,1/2）一直线过原点交椭圆于BC,求三角形ABC最大面积
已知椭圆x方/4+Y方=1,点A(1,1/2）一直线过原点交椭圆于BC,求三角形ABC最大面积
已知椭圆x方/4+Y方=1,点A(1,1/2）一直线过原点交椭圆于BC,求三角形ABC最大面积
椭圆：x²/4+y²=1
设直线为y=kx
点A（1,1/2）到直线的距离
d=｜k-1/2｜/√(1+k²)
将y=kx代入x²/4+y²=1
x²+4k²x²-4=0
(1+4k²)x²-4=0
x1+x2=0
x1*x2=-4/(1+4k²)
线段BC=√(1+k)²[(x1+x2)²-4x1x2]=√(1+k²)[16/(1+4k²)
S三角形ABC=1/2d×BC=1/2×4×√(k-1/2)²/(1+4k²)
令t=(k-1/2)²/(1+4k²)
t=1/4(4k²-4k+1)/(4k²+1)=1/4×[1-4k/(4k²+1)]=1/4[1-1/(k+1/4k)]
k不存在时
那么就是BC的直线为x=0
所以S三角形ABC面积的最大值=1/2×1×2=1
BC为短轴,2b=2
k>0
k+1/4k≥1
0
设直线为y=kx，k≠0。
点A(1，1/2)到直线的距离，B(x1，y1)，C(x2，y2)
d=|k-1/2|/√(1+k²)
联立y=kx，x²/4+y²=1
得x²+4k²x²-4=0
(1+4k²)x²-4=0
x1+x2=0
x1*x2= -4/(1+...
全部展开
设直线为y=kx，k≠0。
点A(1，1/2)到直线的距离，B(x1，y1)，C(x2，y2)
d=|k-1/2|/√(1+k²)
联立y=kx，x²/4+y²=1
得x²+4k²x²-4=0
(1+4k²)x²-4=0
x1+x2=0
x1*x2= -4/(1+4k²)
|BC|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
|=√[(x1-x2)²+(kx1-kx2)²]
=√(1+k²)(x1-x2)²
=√(1+k)²[(x1+x2)²-4x1x2]
=√[16(1+k²)/(1+4k²)]
S△ABC=d×|BC|/2
=1/2×4|k-1/2|/√(1+4k²)
=2|k-1/2|/√(1+4k²)
=|2k-1|/√(1+4k²)
=√[(4k²+1-4k)/(4k²+1)]
=√[1- 4k/(4k²+1)]
=√[1- 4/(4k + 1/k)]
①当k＞0时，
4k + 1/k≥4
0＜4/(4k + 1/k)≤1
0≤1 - 4/(4k + 1/k)＜1
0≤√[1 - 4/(4k + 1/k)]＜1 当且仅当k=1/2时取等号。
即0≤S＜1
②当k＜0时，-4k＞0，-1/k＞0
S=√[1- 4/(4k + 1/k)]
=√[1 + 4/( -4k - 1/k)]
-4k - 1/k≥4
0＜4/(-4k - 1/k)≤1
1＜1 + 4/(4k + 1/k)≤2
1＜√[1 + 4/(4k + 1/k)]≤√2 当且仅当k= - 1/2时取等号。
即1＜S≤√2
③当k=0时，S=1/2 × 4 ÷2=1
④当k不存在时，S=1×2÷2=1
综上，Smax=√2，当k= -1/2时，即B(√2，-√2/2)，C(-√2，√2/2)时，取最大值。
收起