请教：高等数学导数应用的一道证明题证明三角形的面积不超过【（3倍根号3）乘以（R的平方）】/4,其中R为外接圆半径.（导数的应用）

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 20:40:59

请教：高等数学导数应用的一道证明题证明三角形的面积不超过【（3倍根号3）乘以（R的平方）】/4,其中R为外接圆半径.（导数的应用）
请教：高等数学导数应用的一道证明题
证明三角形的面积不超过【（3倍根号3）乘以（R的平方）】/4,其中R为外接圆半径.（导数的应用）

请教：高等数学导数应用的一道证明题证明三角形的面积不超过【（3倍根号3）乘以（R的平方）】/4,其中R为外接圆半径.（导数的应用）
证明：
由正弦定理知
a/sinA=b/sinB=c/sinC＝2R,R是三角形ABC的外接圆半径
三角形ABC的面积可表示为S=(1/2)*a*b*sinC,C是a,b的夹角
将a=sinA*2R,b=sinB*2R代入
S=(1/2)*sinA*2R*sinB*2R*sinC=sinAsinBsinC*2R²
要证明S

圆心连接三个顶点,分成三个三角形,设半径为R,有S=[SIN(A)+SIN(B)+SIN(A+B)]R^2/2,当三角形为正三角形时,面积最大,为3SQRT(3)R^2/4

由正弦定理知：a＝2RsinA,b＝2RsinB
由于三角形面积＝(1/2)absinC＝2R^2sinAsinBsinC
所以本题等价于证明：
sinAsinBsinC不超过[（3倍根号3）乘以（R的平方）]/8
证明ing..........

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