作业帮已知y=(x^2-1)^n ,证明:(x^2-1)*y的(n+2)阶导数+2x*y的(n+1)阶导数 - n(n+1)y的n阶导数=0已知y=(x^2-1)^n ,证明:(x^2-1)*y的(n+2)阶导数+2x*y的(n+1)阶导数 - n(n+1)*y的n阶导数=0上面少了个乘号，但愿各位能看懂。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:59:07
已知y=(x^2-1)^n ,证明:(x^2-1)*y的(n+2)阶导数+2x*y的(n+1)阶导数 - n(n+1)y的n阶导数=0已知y=(x^2-1)^n ,证明:(x^2-1)*y的(n+2)阶导数+2x*y的(n+1)阶导数 - n(n+1)*y的n阶导数=0上面少了个乘号，但愿各位能看懂。
已知y=(x^2-1)^n ,证明:(x^2-1)*y的(n+2)阶导数+2x*y的(n+1)阶导数 - n(n+1)y的n阶导数=0
已知y=(x^2-1)^n ,证明:(x^2-1)*y的(n+2)阶导数+2x*y的(n+1)阶导数 - n(n+1)*y的n阶导数=0
上面少了个乘号，但愿各位能看懂。
已知y=(x^2-1)^n ,证明:(x^2-1)*y的(n+2)阶导数+2x*y的(n+1)阶导数 - n(n+1)y的n阶导数=0已知y=(x^2-1)^n ,证明:(x^2-1)*y的(n+2)阶导数+2x*y的(n+1)阶导数 - n(n+1)*y的n阶导数=0上面少了个乘号，但愿各位能看懂。
由y=(x^2-1)^n
得y'=n(x^2-1)^(n-1)*2x=2nx*(x^2-1)^n/(x^2-1)=2nxy/(x^2-1)
移项整理得：(x^2-1)y'=2nxy
以下为了不致混淆,有必要时让导数阶数在双括号里
对两端分别求n阶导数,应用莱布尼茨公式,得：
Σ[i=0,n]C(n,i)(x^2-1)^(i)*y^((1+n-i))=2nΣ[j=0,n]C(n,j)x^(j)*y^((n-j))
展开得：
C(n,0)(x^2-1)*y^((n+1))+C(n,1)2x*y^(n)+C(n,2)2*y^((n-1))=2n[C(n,0)x*y^(n)+C(n,1)y^((n-1))]
展开整理得：
(x^2-1)y^((n+1))+2nxy^(n)+n(n-1)y^((n-1))=2nxy^(n)+2n^2*y^((n-1))]
(x^2-1)y^((n+1))=n(n+1)y^((n-1))
对此等式两端再求一次导得：
2xy^((n+1))+(x^2-1)y^((n+2))=n(n+1)y^(n)
移项整理即得到你要的结论~
请采纳,不懂请追问,以后有什么问题尽管问我哦~