二重极限和二次极限的关系二重极限和二次极限一共三个极限,他们有什么关系?

二重极限和二次极限的关系二重极限和二次极限一共三个极限,他们有什么关系?
二重极限和二次极限的关系
二重极限和二次极限一共三个极限,他们有什么关系?

二重极限和二次极限的关系二重极限和二次极限一共三个极限,他们有什么关系?
设P=f(x,y),P0=(a,b) ,当P→P0 时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限.
此外,我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限.

我们必须注意有以下几种情形： ’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在
(2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等,但二重极限仍可能不存在.

如果
二重极限是
lim_{x->a,y->b}f(x,y),
二次极限分别为
lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] = lim_{x->a}g(x),
和
lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] = lim_{y->b}h(y).
其中，g(x) = lim_{y->b}f(x,y), h(...

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如果
二重极限是
lim_{x->a,y->b}f(x,y),
二次极限分别为
lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] = lim_{x->a}g(x),
和
lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] = lim_{y->b}h(y).
其中，g(x) = lim_{y->b}f(x,y), h(y) = lim_{x->a}f(x,y), a, b是常数。
则，
二重极限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 存在，意味着，当2元变量(x,y)以任何可能的方式->(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。
换句话说，若二重极限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。
二次极限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] = lim_{x->a}g(x) 存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X 逼近(X,b)[也就是(x,y)->(x,b)],然后再沿直线y=b逼近(a,b)时[也就是(x,b)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。
换句话说，若二次极限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] = lim_{x->a}g(x)存在，则，2维动点(x,y)先沿垂直于x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。
二次极限 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] = lim_{y->b}h(y) 存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y 逼近(a,Y)[也就是(x,y)->(a,y)],然后再沿直线x=a逼近(a,b)时[也就是(a,y)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。
换句话说，若二次极限 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] = lim_{y->b}h(y)存在，则，2维动点(x,y)先沿垂直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。

这样，
1),若二重极限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 存在且等于A, 则二次极限
lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] 和 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] 一定都存在且都等于A.
比如，lim_{x->0,y->0}(xy) = 0, 而且，显然 lim_{x->0}[lim_{y->0}(xy)] 和 lim_{y->0}[lim_{x->0}(xy)] ] 也都存在，且都等于0。
2), 若二次极限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] 或者 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] 中至少有1个不存在，则，若二重极限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 一定不存在。
比如，lim_{x->0}[lim_{y->0}(y/x)] = 0, 但 lim_{y->0}[lim_{x->0}(y/x)] ] 不存在。则，lim_{x->0,y->0}(y/x) 一定不存在。
3), 若二次极限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] 和 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] 都存在但不等于，则，若二重极限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 一定不存在。
比如，lim_{x->0}[lim_{y->0}( y(x+1)/(x+y) )] = 0, lim_{y->0}[lim_{x->0}( y(x+1)/(x+y) )] = 1。则，lim_{x->0,y->0}( y(x+1)/(x+y) ) 一定不存在。
4), 即使二次极限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] 和 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] 都存在且等于，也不能保证，二重极限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 一定存在。
比如，lim_{x->0}[lim_{y->0}( yx/(x^2 + y^2) )] = 0, lim_{y->0}[lim_{x->0}( yx/(x^2 + y^2) )] = 0。但，lim_{x->0,y->0}( yx/(x^2 + y^2) ) 不存在。 因为，如果lim_{x->0,y->0}( yx/(x^2 + y^2) ) 存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存在而且极限都应该等于0。而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，( yx/(x^2 + y^2) )恒等于1/2,不等于0。所以，lim_{x->0,y->0}( yx/(x^2 + y^2) ) 一定不存在。
其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。
2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。
1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。
若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则，二重极限一定不存在。
若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。
若2元函数的二次极限都存在但不相等，则，二重极限一定不存在。
若1元函数的左右极限都存在但不相等，则，极限一定不存在。
即使2元函数的二次极限都存在且相等，也不能保证，二重极限一定存在。
若1元函数的左右极限都存在且相等，则，极限一定存在且等于左右极限。
只有最后一条不同，因为在1维的时候，1维动点的所有可能的逼近路径只有2个，从左边逼近[左极限]和从右边逼近[右极限]。所以只要左右极限都存在且相等了，就保证了所有可能的逼近的路径的极限都存在且相等了。因此，在这种情况下，极限就存在且等于左右极限了。
但，在2维的时候，2维动点的所有可能的逼近路径都非常多了，可以从上面逼近，可以从下面逼近，可以从左边，从右边，从左下，右上等等不同的方向逼近，而且逼近的路径也有很多变化，可以沿直线逼近，还可以沿曲线逼近。所以，在讨论2元函数的极限时，就不能像1元函数那样用穷举的方式[只要判断左右极限]来进行了。因为2维动点的所有可能的逼近路径有无穷多个，无法穷举。
反过来看，这也有好处。当要肯定一个结论非常困难的时候，可能否定它就相对容易一些。2元函数的极限的这种特点，用来判断二重极限不存在就很方便了。只要找到1条可能的逼近路径，极限不存在，就可以认定二重极限不存在。或者只要找到2条可能的逼近路径，他们的极限不相等，也可以认定二重极限不存在。
最后，以上讨论当 a,b,A中包含有无穷大时，也有类似的结论。

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