大一极限题3x-4sinx+cosxsinx是x的几阶无穷小前提是x趋近于0 答案是5阶,没看懂,求详细解答我想求解释这个答案怎么回事，没看懂

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 12:28:39

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大一极限题
3x-4sinx+cosxsinx是x的几阶无穷小
前提是x趋近于0
答案是5阶,没看懂,求详细解答

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1.f'=3-4cosx-sin^2x+cos^2x
2.f''=4sinx-2sinxcosx-2cosxsinx
3.f'''=4cosx-4(-sin^2x+cos^2x)
4.f''''=-4sinx-4(-2sinxcosx-2cosxsinx)
5.f'''''=-4cosx+16(-sin^2x+cos^2x)
可以看出前4项式子当x趋于0时都趋于0,第5项趋于12不为0 所以是5阶

正常证明应该是把三项用幂级数展开，会有低次项被约掉，最终得到的最低次项的次数就是x等价无穷小次数

根据泰勒展开式
sinx=x-1/6*x^3+1/120*x^5+o(x^5) cosx=1-1/2*x^2+1/24x^4+o(x4)
3x-4sinx+cosxsinx=3(x-sinx)-sinx(1-cosx)
将sinx cosx展开式代入得
3(1/6*x^3+1/120*x^5+o(x^5) -sinx[1/2*x^2-1/24x^4+o(x4)]=(1/40+1/24)x^5+o(x^5)

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