作业帮求sinAsinBsinC的最大值,A,B,C都不大于90度A+B+C=90度
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 05:14:09
求sinAsinBsinC的最大值,A,B,C都不大于90度A+B+C=90度
求sinAsinBsinC的最大值,A,B,C都不大于90度
A+B+C=90度
求sinAsinBsinC的最大值,A,B,C都不大于90度A+B+C=90度
很简单,二元函数求极值问题
答案：sinAsinBsinC≤3(根号3)/8
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证明：
因为A+B+C=180,C=180-(A+B)
所以sinC=sin(A+B)
构造二元函数y=f(A,B)=sinAsinBsin(A+B)
要使y=f(A,B)取极值,则y对A的一价偏导数和对B的一阶偏导数都要为0
对A的一价偏导数
fA(A,B)
=cosAsinBsin(A+B)+sinAsinBcos(A+B)
=sinB[cosAsin(A+B)+sinAcos(A+B)]
=sinBsin(2A+B)=0
因为sinB≠0,所以要使偏导数为0,必有sin(2A+B)=0
由此得2A+B=180
同理对B求一阶偏导可得到2B+A=180
联解A,B组成的二元一次方程组解得,A=60,B=60
易检验,当A=B=60时,y取得极大值
y(max)=f(60,60)=sin60sin60sin(60+60)=3(根号3)/8
所以sinAsinBsinC≤3(根号3)/8
条件不够
来晚了。
最大值1/8.
设A+B=S(常量),则sinAsinB=sinAsin(S-A)=(cos(2A-S)-cosS)/2,显然当2A-S=0,即A=B=S/2时sinAsinB最大.
从而证明了当A+B+C=90时,A=B=C时sinAsinBsinC的值最大,反证法,如果A,B,C取值使sinAsinBsinC的值最大,但A=B=C不成立,不妨设A与B不等,由上面可知,在保持...
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最大值1/8.
设A+B=S(常量),则sinAsinB=sinAsin(S-A)=(cos(2A-S)-cosS)/2,显然当2A-S=0,即A=B=S/2时sinAsinB最大.
从而证明了当A+B+C=90时,A=B=C时sinAsinBsinC的值最大,反证法,如果A,B,C取值使sinAsinBsinC的值最大,但A=B=C不成立,不妨设A与B不等,由上面可知,在保持C,A+B之和不变的情况下,改变A,B的值,使A,B值相等,此时sinAsinBsinC较原来的值大,这就产生了矛盾.
故当A=B=C时sinAsinBsinC的值最大,此时A=B=C=30,sinAsinBsinC=1/8.
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