作业帮已知△ABC的周长为6,|向量BC|、|向量CA|、|向量AB|成等比数列 求向量BA·向量BC的取值范围已知△ABC的周长为6,|向量BC|、|向量CA|、|向量AB|成等比数列求向量BA·向量BC的取值范围必须在10月21日10
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 19:09:59
已知△ABC的周长为6,|向量BC|、|向量CA|、|向量AB|成等比数列 求向量BA·向量BC的取值范围已知△ABC的周长为6,|向量BC|、|向量CA|、|向量AB|成等比数列求向量BA·向量BC的取值范围必须在10月21日10
已知△ABC的周长为6,|向量BC|、|向量CA|、|向量AB|成等比数列 求向量BA·向量BC的取值范围
已知△ABC的周长为6,|向量BC|、|向量CA|、|向量AB|成等比数列
求向量BA·向量BC的取值范围
必须在10月21日10点前给思路
已知△ABC的周长为6,|向量BC|、|向量CA|、|向量AB|成等比数列 求向量BA·向量BC的取值范围已知△ABC的周长为6,|向量BC|、|向量CA|、|向量AB|成等比数列求向量BA·向量BC的取值范围必须在10月21日10
设|向量BC|＝a,|向量CA|＝b,|向量AB|＝c,则有：
a＋b＋c＝6,b^2＝ac
∴a＋c＝6－b,ac＝b^2
从而a、c是方程x^2－(6－b)x＋b^2＝0的两个实数根
由韦达定理得：
(6－b)^2－4b^2≥0
36－12b＋b^2－4b^2≥0
b^2＋4b－12≤0
(b＋6)(b－2)≤0
由于b＞0,故b≤2
另一方面,|a－c|＜b
∴(a－c)^2＜b^2
(a＋c)^2－4ac＜b^2
(6－b)^2－4b^2＜b^2
b^2＋3b－9＞0
由b＞0知：b＞(－3＋3√5)/2
∴(－3＋3√5)/2＜b≤2
而向量BA·向量BC
＝|向量BA|·|向量BC|·cosB
＝ac·(a^2＋c^2－b^2)/(2ac)
＝(a^2＋c^2－b^2)/2
＝[(a＋c)^2－2ac－b^2]/2
＝[(6－b)^2－3b^2]/2
＝－(b＋3)^2＋27
由(－3＋3√5)/2＜b≤2得：(3＋3√5)/2＜b＋3≤5
(27＋9√5)/2＜(b＋3)^2≤25
－(27＋9√5)/2＞－(b＋3)^2≥－25
－(27＋9√5)/2＋27＞－(b＋3)^2＋27≥－25＋27
即：(27－9√5)/2＞－(b＋3)^2＋27≥2
所求的向量BA·向量BC的取值范围是：[2,(27－9√5)/2)
（一）先求b的取值范围。由题设可知b²=ac,a+b+c=4.a+c＞b＞0.===>0＜b＜2.且a+c=4-b,ac=b².由“韦达定理”可知，a,c是方程x²+(b-4)x+b²=0的两根，∴⊿=（b-4)²-4b²≥0.===>0＜b≤4/3.综上可知，0＜b≤4/3.(二）由向量的数量积及余弦定理可知，BA·BC=ac×cos∠...
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（一）先求b的取值范围。由题设可知b²=ac,a+b+c=4.a+c＞b＞0.===>0＜b＜2.且a+c=4-b,ac=b².由“韦达定理”可知，a,c是方程x²+(b-4)x+b²=0的两根，∴⊿=（b-4)²-4b²≥0.===>0＜b≤4/3.综上可知，0＜b≤4/3.(二）由向量的数量积及余弦定理可知，BA·BC=ac×cos∠ABC=(ac)[a²+c²-b²]/(2ac)=(a²+c²-b²)/2=[(a+c)²-2ac-b²]/2=[(4-b)²-3b²]/2=-b²-4b+8=12-(b+2)².∴BA·BC=12-(b+2)².∵0＜b≤4/3.∴数形结合可知，8/9≤12-(b+2)²＜8.即BA·BC∈[8/9,8)
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答完后看看楼上，好像还是设abc比较方便，不过他当中有一步和我算的不一样，楼主自己斟酌吧。。。
设|BC|=a，|CA|=aq，|AB|=aq^2，则
由三边构成三角形有：a+aq>aq^2,a-aq
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答完后看看楼上，好像还是设abc比较方便，不过他当中有一步和我算的不一样，楼主自己斟酌吧。。。
设|BC|=a，|CA|=aq，|AB|=aq^2，则
由三边构成三角形有：a+aq>aq^2,a-aq
由周长为6可得 a(1+q+q^2)=6 （1）
而|BA|^2+|BC|^2-|AB|^2
=a^2(q^4+1-q^2)=a^2((q^2+1)^2-3q^2)
=a(q^2+√3q+1)a(q^2-√3q+1)
=(6+(√3-1)aq)(6-(√3+1)aq)
=36-12aq-2(aq)^2
=-2(aq+3)^2+54
现在只要知道aq的取值就行了，将（1）式变一下形，
有aq=6q/(q^2+q+1)
q的取值范围已近有了，接下去就不算了吧。。。
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