作业帮同体积下比较正方体和长方体的表面积哪个大?为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 06:20:00
同体积下比较正方体和长方体的表面积哪个大?为什么?
同体积下比较正方体和长方体的表面积哪个大?为什么?
同体积下比较正方体和长方体的表面积哪个大?为什么?
首先证明：已知a0,b0,c0.
a立方 +b立方+ c立方大于等于3abc
证明：（用比较法.）已知a0,b0,c0.
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
又因为a^2+b^2=2ab;b^2+c^2=2bc;c^2+a^2=2ca.(a=b=c时等号成立）
两边同时相加,得到：2(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)
所以：a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.
故得到：a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
又因为：a+b+c0.
两边分别相乘得到:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
于是对一切正实数a、b、c都有a^3+b^3+c^3=3abc成立.
当仅当a=b=c时等号成立.
(A+B+C)^3=A^3+3A(B+C)^2+3A^2(B+C)+(B+C)^3
=A^3+3A(B^2+2BC+C^2)+3A^2B+3A^2C+B^3+3B^2C+3BC^2+C^3
=A^3+B^3+C^3+3A^2B+3A^2C+3B^2A+3B^2C+3C^2A+3C^2B+6ABC
=3ABC+3ABC+3ABC+3ABC+3ABC+3ABC+3ABC+6ABC
得：A+B+C=3(ABC)^(1/3)
当且仅当A=B=C时取等号
设正方体边长为x,长方体长为a,宽为b,高为cx立方=abc正方体表面积=6x平方
长方体表面积=2ab+2bc+2ca
=2x立方/c+2x立方/a+2x立方/b
=3[(2x立方/c）*（2x立方/a）*（2x立方/b)]^(1/3)
长方体表面积=正方体表面积