作业帮初中几何竞赛题,高手进已知凸四边形ABCD满足AB=BC=2,CD=2根号3,DA=2根号5,对角线AC、BD交于点E,M为AC中点,AE＞AM,N为BD中点,BE＜BN,且MN=根号2,求四边形ABCD的面积.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 01:07:52
初中几何竞赛题,高手进已知凸四边形ABCD满足AB=BC=2,CD=2根号3,DA=2根号5,对角线AC、BD交于点E,M为AC中点,AE＞AM,N为BD中点,BE＜BN,且MN=根号2,求四边形ABCD的面积.
初中几何竞赛题,高手进
已知凸四边形ABCD满足AB=BC=2,CD=2根号3,DA=2根号5,对角线AC、BD交于点E,M为AC中点,AE＞AM,N为BD中点,BE＜BN,且MN=根号2,求四边形ABCD的面积.
初中几何竞赛题,高手进已知凸四边形ABCD满足AB=BC=2,CD=2根号3,DA=2根号5,对角线AC、BD交于点E,M为AC中点,AE＞AM,N为BD中点,BE＜BN,且MN=根号2,求四边形ABCD的面积.
见图
思路是解方程，设Ac为X，反复通过运用正弦，余弦定理计算出各个长度和角度，最后到MNE三角形中通过根号2解出x，即可求面积，计算烦琐，没多大意义
分割化弦做。
没有想到什么简便方法，让我来练习一下解方程。
显然BM⊥AC，
因此可设M为坐标原点，MC为x轴正方向，MB为y轴正方向，
设D坐标为(x,y)，B坐标为(0,z)，x>0，y<0，-
C坐标为(根号(4-z^2),0)
N坐标为(x/2,(y+z)/2),(y+z)/2<0,即y+z<0
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没有想到什么简便方法，让我来练习一下解方程。
显然BM⊥AC，
因此可设M为坐标原点，MC为x轴正方向，MB为y轴正方向，
设D坐标为(x,y)，B坐标为(0,z)，x>0，y<0，-
C坐标为(根号(4-z^2),0)
N坐标为(x/2,(y+z)/2),(y+z)/2<0,即y+z<0
根据AD、CD、MN的长度可以列3个方程：
(x+根号(4-z^2))^2+y^2=(2根号5)^2=20
(x-根号(4-z^2))^2+y^2=(2根号3)^2=12
(x/2)^2+((y+z)/2)^2=(根号2)^2=2
解得：
x=根号(4-2根号2)
y=-根号(10+根号2)
z=根号(2-根号2)
（其中舍去一组解不满足ABCD是凸四边形）
所以，
四边形ABCD的面积
=1/2*2*根号(4-z^2)*(z-y)
=根号(4-(2-根号2))*(根号(2-根号2)+根号(10+根号2))
=2+4根号2
收起
好迷茫……是2+2根号6吗？