点P在锐角三角形ABC的三条边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论.这是竞赛题,网上找不到啊.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 18:17:49

点P在锐角三角形ABC的三条边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论.这是竞赛题,网上找不到啊.
点P在锐角三角形ABC的三条边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论.
这是竞赛题,网上找不到啊.

由于垂直距离最小,PA+PB=AB 若PC是AB边上的垂线,如在AB边上,则PA+PB+PC最短.

实际上,这个P点应在角度最大的那个角所对的边上,且与所对的边垂直.

费马（Pierre De Fermat )是法国数学家,1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.

引例：有甲乙丙三个村庄,要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小?将此问题用数学模型抽象出来即为：
在△ ABC中确定一点P,使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小.

解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点,则该点即为所求P点.
证明：如下图所示.连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中,AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD.
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° , ∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心,PA为半径作圆交PD于F点,连结AF,
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°,已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形.∴不难发现△ABP与△ADF重合.
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ,同样连结GA、GB、GC、GD,以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°,记G点旋转到M点..
则△ABG与△BDM重合,且M或在线段DG上或在DG外.
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC.
从而CD为最短的线段.
以上是简单的费马点问题,将此问题外推到四点,可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点

点P在锐角三角形ABC的三条边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论.这是竞赛题,网上找不到啊. 锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE交于点P,若一道很难得数学难题.希望杯竞赛题在锐角三角形abc中,D,E,F分别是AB,BC,CA边上的三等分点,P,Q,R分别是三角形ADF,BDE,CEF的三条中线的交点.（1）求△DEF于△ABC的面积之比.（2）求△PDF于△ADF的面积已知,在锐角三角形ABC中,点D、E分别在AB和BC边上,请在AC边上找一点P,使△DEP的周长最小.请说明原因。如图所示,在锐角三角形ABC中,P是BC边上任意一点,请在BA、CA边上分别取点D、E,使△PDE的周长最小,并简快我的黑眼圈啊明天还要上学啊已知三角形ABC中,AB=AC=10CM,BC=8CM,点D为AB的中点,点P在BC上以3cm/s,的速度由B点向C 点运动,同时,点Q在CA由C点向A运动,求,P,A,同时逆时针出发,经过多长时间点P和Q 第一次在三角形ABC的哪条边上相遇 1.（1）在锐角三角形△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,证明：△ABC的垂心H是△DEF的内心.（2）试证明三角形三条中线交于一点,且每条中线被这点分为2：1的两部分.2.△ABC中,∠ABC=90,AC＞AB,AD是高平面向量线性运算锐角三角形ABC,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC ,AM与BN相交于P,求AP:PM 的值 . 已知关于x的方程x^2-(m+n+1)x+m=0(n≥0)的两个实数根为α,β,且α≤β(1)试用含有α、β的代数式表示m和n;(2)求证:α≤1≤β;(3)若点P（α,β）在△ABC的三条边上运动,且△ABC顶点的坐标分别是A（1,2）、B 在平面上,设ha.hb.hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P 到三边相应的距离分别为Pa.Pb.Pc,我们可以得到结论Pa/ha+Pb/hb+Pc/hc=1,试通过类比,写出在空间中的类比结论. 在平面上,设ha.hb.hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P 到三边相应的距离分别为Pa.Pb.Pc我们可以得到结论Pa/ha+Pb/hb+Pc/hc=1,试通过类比,写出在空间中的类比结论.并证明.结论知道.但怎在锐角三角形中,求一点P,使P到此三角形三个顶点的距离和最短,求点P的位置是三角形三条角平分线交点还是三条中线的交点? 若A、B是锐角三角形ABC的两内角...高一数学求解答~~1.若A、B是锐角三角形ABC的两内角,则点P（cosB-sinA,sinB-cosA）在哪个象限?原因?2.已知锐角α终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2）,则α等于?3.已知f 在锐角三角形abc中,CD、BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE交于点P.若角A=50度,则角BPC的度数是如图,在锐角三角形ABC种,CD BE分别是AB AC 边上的高,且CD BE交于点P,已知角A等于50°,求角BPC的度数在锐角三角形ABC中,CD和BE分别是AB和AC边上的高,且CD和BE相交于点P.若角A=50度,求角BPC的度数. 在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心（三角形三条边上的高所在的直线交于一点,这点叫做这个三角形的垂心）,求证：PA⊥BC.（能给我个图吗?真不好意思,没有图给你们看,还让如图,在锐角三角形ABC中CD、BE分别是AB、AC边上的高且CD BE交于点P,若∠A=40°,求∠BPC