设计一个圆柱形容器,要求容积为335ml,使用的材料最少.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 06:12:41

设计一个圆柱形容器,要求容积为335ml,使用的材料最少.
设计一个圆柱形容器,要求容积为335ml,使用的材料最少.

设计一个圆柱形容器,要求容积为335ml,使用的材料最少.
解题思路：
设圆柱体的底面圆的半径为r,圆柱体的高度为h .
依题意V=πr*r*h,
S=2πr*r + 2πr*h,
联立之后求S的导数,令S导数为0,
求出r值,h值.
然后根据r,h值设计圆柱体.
　　V (r,h) = πr^2h (1)
　　Vd = 355mL = 0.355 ∗ 0.01m3 (2)
　　f(r,h) = A(r,h) = 2πr2 + 2πrh (3)
　　X = (r,h) :r,h ∈ R+ (4)
　　h = Vd
　　πr^2 = 0.003 55m3 (5)
　　f(r) = 2πr^2 + 2 ∗ Vdr−1 (6)
　　f′(r) = 4πr + 2Vd ∗ −r−2 (7)
　　r⋆ ≈ 3.8cm (8)
　　h⋆ ≈ 7.7cm (9)
　　f′′(r) = 4π+ 4Vdr−3 (10)
　　f′′(r⋆) > 0 ⇒ 得到的解 x⋆ = (r⋆,h⋆) 是要求的解 (11)
利用导数知识能很轻松的解决这个问题.

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