作业帮己知O为坐标原点,曲线C上的任意一点P到点F(0.1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等,过点F的直线交曲线C于A.B两点,且曲线C在A.B两点处的切线分别为l1.l2求.曲线C的方程求证直线l1.l2互相垂直
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 07:08:28
己知O为坐标原点,曲线C上的任意一点P到点F(0.1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等,过点F的直线交曲线C于A.B两点,且曲线C在A.B两点处的切线分别为l1.l2求.曲线C的方程求证直线l1.l2互相垂直
己知O为坐标原点,曲线C上的任意一点P到点F(0.1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等,过点F的直线交曲线C于A.B两点,且曲线C在A.B两点处的切线分别为l1.l2
求.曲线C的方程求证直线l1.l2互相垂直
己知O为坐标原点,曲线C上的任意一点P到点F(0.1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等,过点F的直线交曲线C于A.B两点,且曲线C在A.B两点处的切线分别为l1.l2求.曲线C的方程求证直线l1.l2互相垂直
曲线C:P/2=1 P=2 所以x^2=4y y'=0.5x （y'为导数,也是两直线的斜率）
过F(0.1)直线:y=kx+1 且交x^2=4y 于A.B两点
整理得,0.25x^2-kx-1=0
所以x1=2[k+sqrt(k^2+1)] x2=2[k-sqrt(k^2+1)] sqrt为平方根
所以y'1=k+sqrt(k^2+1) y'2=k-sqrt(k^2+1)
y'1*y'2=[k+sqrt(k^2+1)]*[k-sqrt(k^2+1)]=-1
所以直线l1.l2互相垂直
我给你讲解一下：
（1）这里提到曲线C上的任意一点P到点F(0.1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等，这句话就是说出了圆锥曲线中抛物线第二定义（到焦点的距离比上到准线的距离等于1，也就是他们俩相等）
则F(0.1)为焦点，y=-1为准线
求得p=2,2p=4,则曲线C的方程为：x^2=4y （注意，焦点在y轴上）
（2）这问涉及到切线，斜率，则必然跟导数有...
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我给你讲解一下：
（1）这里提到曲线C上的任意一点P到点F(0.1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等，这句话就是说出了圆锥曲线中抛物线第二定义（到焦点的距离比上到准线的距离等于1，也就是他们俩相等）
则F(0.1)为焦点，y=-1为准线
求得p=2,2p=4,则曲线C的方程为：x^2=4y （注意，焦点在y轴上）
（2）这问涉及到切线，斜率，则必然跟导数有关
下面就是导数与二次函数韦达定理的巧妙应用！！！
整理方程x^2=4y 为y=x^2/4,对其求导为：y'=x/2
曲线C在A.B两点处的切线分别为l1.l2,设他们的斜率分别为k1,k2.
根据导数的几何意义就是那点的斜率可得：k1=x1/2 k2=x2/2
则k1*k2=(x1*x2)/4
这里出现了x1*x2，所以我们有理由想到要应用直线和曲线联立构成x的二次方程，然后我们就可以由韦达定理得到x1*x2的数值。
联立y=x^2/4和直线：y=kx+1(这里直线式由点斜式方程得到)
联立得 x^2/4-kx-1=0 (这里的联立就是指把直线的y带入曲线)
由韦达定理得x1*x2=c/a=-4
而上面我们得到k1*k2=(x1*x2)/4=-4/4=-1.
满足两直线垂直的判定条件，斜率相乘得-1.
所以所证直线l1.l2互相垂直成立。证毕。
谢谢！！
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