作业帮双曲线x^2-y^2/3=1有两个动点P1P2,P1P2的垂直平分线L经过点A（0,4）P1P1中点为M,求M轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:38:05
双曲线x^2-y^2/3=1有两个动点P1P2,P1P2的垂直平分线L经过点A（0,4）P1P1中点为M,求M轨迹方程
双曲线x^2-y^2/3=1有两个动点P1P2,P1P2的垂直平分线L经过点A（0,4）P1P1中点为M,求M轨迹方程
双曲线x^2-y^2/3=1有两个动点P1P2,P1P2的垂直平分线L经过点A（0,4）P1P1中点为M,求M轨迹方程
“点差法”是解决中点问题的常用方法.
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),M(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2,且
3x1²-y1²=3 (1)
3x2²-y2²=3 (2)
(2)-(1),得
3(x2-x1)(x1+x2)-(y2-y1)(y1+y2)=0
由于P1P2的垂直平分线L经过点A（0,4）从而,x1≠x2,
所以P1P2的斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)=3(x1+x2)/(y1+y2)=3x/y
又MA的斜率k2=(y-4)/x,
因为 P1P2垂直于MA,从而 k1k2=-1,
即 (3x/y)•(y-4)/x=-1,
化简得 xy-3x=0
应该有两个答案的。因为P1P2的斜率未知，所以有两种可能。
设P1P2：y=kx+b
带入双曲线得：3x^2-(kx+b）^2=3
∴(3-k^2)x^2-2kbx-b^2-3=0
设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
得M(kb/(3-k^2),(bk^2/(3-k^2))+b...
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应该有两个答案的。因为P1P2的斜率未知，所以有两种可能。
设P1P2：y=kx+b
带入双曲线得：3x^2-(kx+b）^2=3
∴(3-k^2)x^2-2kbx-b^2-3=0
设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
得M(kb/(3-k^2),(bk^2/(3-k^2))+b)
根据K的取值分类讨论
①当k=0时,轨迹即为Y轴
②当k≠0时，kAM=k+(b-4)(3-k^2)/kb=-1/k 从而得到b=3-k^2
∴M(k,3)
又∵P1P2与双曲线有两个交点
∴△>0
∴k^2<3或k^2>4
∴此条件的轨迹为Y=3(-根号3
希望这个答案对你有帮助。
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