作业帮sin的三次方x+cos的三次方x=1,求sinx+cosx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 18:48:03
sin的三次方x+cos的三次方x=1,求sinx+cosx
sin的三次方x+cos的三次方x=1,求sinx+cosx
sin的三次方x+cos的三次方x=1,求sinx+cosx
cosx换元为A,sinx换元为B.A^3代表A的三次方.A^2代表A的二次方.*是乘.
第一步：A^3+B^3=(A+B)(A^2-A*B+B^2)=1 =>[(A+B)*(A^2-A*B+B^2)]^2=1 =>经过整理得 2A^3*B^3-3A^2*B^2=0 此式标为 （1）式.
第二步：（A+B)^2=A^2+B^2+2AB 此式标为 （2）式.
所以有第二步知,只要知道A*B即可求 A+B.而求A*B可从（1）式得解.经过提公因数可知有两种情况 ,1况：cosx与sinx都不为0,得cosx*sinx=3/2,代入（2）式并开平方得 cosx+sinx=2,显然cosx与sinx不能同时为1,所以不成立.
2况：若满足（1）式,则cosx与sinx必须有一个为0,所以综上可知sinx+cosx=1.
这道题考查的是一个公式，A3+B3=(A+B)*(A2-AB+B2)
在这道题中，将sinx看做A,将cosx看做B
最后做出答案为sinx+cosx=1.
解 令y=sinx+cosx, 因为 sin的三次方x+cos的三次方x=1所以 (sinx+cosx)[(sinx+cosx).(sinx+cosx)-3sinxcosx]=1即y(Y.y
由A3+B3=(A+B)*(A2-AB+B2)知cosx^3+sinx^3=(cosx^2+sinx^2-sinxcosx)(cosx+sinx)=1 此式标为 （1）式.
而)(cosx+sinx)^2=cosx^2+sinx^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx 此式标为 （2）式
将二式代入一式得(cosx+sinx)（1-【（cosx+sinx)^2...
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由A3+B3=(A+B)*(A2-AB+B2)知cosx^3+sinx^3=(cosx^2+sinx^2-sinxcosx)(cosx+sinx)=1 此式标为 （1）式.
而)(cosx+sinx)^2=cosx^2+sinx^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx 此式标为 （2）式
将二式代入一式得(cosx+sinx)（1-【（cosx+sinx)^2-1】/2）=1
设(cosx+sinx)=X 则x[1-(x^2-1)/2]=1 整理得3x-x^3=2
设f(x)=3x-x^3 求倒得f*(x)=3-3x^2=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x) 可知f(x)图像如图
易知f(x)=0,f(1)=2 而√2≥x≥-√2又f(√2)=√2,f(-1)=-2,f(-√2)=-√2,如图，在x的范围内只有当x=1时3x-x^3=2 所以解得cosx+sinx=1
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