高中数学三角(√2+sinα) / (√2+cosα) 的值域(α∈R)?过程和结果.感激.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 01:56:11

高中数学三角(√2+sinα) / (√2+cosα) 的值域(α∈R)?过程和结果.感激.
高中数学三角
(√2+sinα) / (√2+cosα) 的值域(α∈R)?过程和结果.感激.

高中数学三角(√2+sinα) / (√2+cosα) 的值域(α∈R)?过程和结果.感激.
(√2+sinα) / (√2+cosα)
=[sinα-(-√2)]/[cosα-(-√2)]
表示的几何意义为:
平面直角坐标系中点(cosα,sinα)和点(-√2,-√2)连线的斜率,
而由于α∈R,为任意实数
故动点(cosα,sinα)的组成集合为单位圆 x²+y²=1,
故连线段所在直线与圆与两侧相切时,
斜率分别取得最大,最小值,
分别为tan75°和tan15°,
即2+√3 和 2-√3,
故原函数值域为[2-√3,2+√3]

上题等价于求过(sin a,cos a)和(-√2,-√2)两点的直线的斜率范围
由于(sin a,cos a)是以原点为圆心,1为半径的圆.
设直线y+√2=k(x+√2),与圆相切
{√2k-√2}/√(k^2+1)=1 其中{}是绝对值符号
计算可得,k1=2+√3,k2=2-√3
所以值域是[2-√3,2+√3]

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