设函数f(x)=1+x的平方/1-x的平方,求证 f(1/x)=-f(x)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 10:03:18

设函数f(x)=1+x的平方/1-x的平方,求证 f(1/x)=-f(x)
设函数f(x)=1+x的平方/1-x的平方,求证 f(1/x)=-f(x)

设函数f(x)=1+x的平方/1-x的平方,求证 f(1/x)=-f(x)
证:f(x)=(1+x^2)/(1-x^2)
令x=1/t,代入上式,有:
f(1/t)
=(1+1/t^2)/(1-1/t^2)
=[(t^2+1)/t^2]/[(t^2-1)/t^2]
=(t^2+1)/(t^2-1)
=-(1+t^2)/(1-t^2)
=-f(t)
即:f(1/t)=-f(t)
所以:f(1/x)=-f(x)
证毕.

证明:
因为
f(1/x)=(1+1/x²)/(1-1/x²)=(x²+1)/(x²-1)
-f(x)=-(1+x²)/(1-x²)=(1+x²)/(x²-1)=(x²+1)/(x²-1)
所以,f(1/x)=-f(x)