已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点（1）当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标（2）当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 02:45:01

已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点（1）当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标（2）当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明
已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点（1）当直线AM的斜率为1时,
求点M的坐标（2）当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.【主要是第二问不会】]

已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点（1）当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标（2）当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明
第一小题,得M(-6/5,4/5),N(-6/5,-4/5)；
第二小题：假设MN过x轴上一定点；由（1）知定点坐标为Q(-6/5,0)；
A(-2,0),设AM：y=k(x+2),则AN：y=-(x+2)/k
设M(x1,y1),N(x2,y2)；
直线AM与椭圆联列消去y,得：(4k²+1)x²+16k²x+16k²-4=0；
A和M是这个方程的两个解,由韦达定理：x1-2=-16k²/(4k²+1),
得：x1=4/(4k²+1)-2,则y1=k(x1+2)=4k/(4k²+1)；
直线AN和椭圆联列消去y,得：(k²+4)x²+16x+16-4k²=0；
A和N是这个方程的两个解,由韦达定理：x2-2=-16/(k²+4),
得：x2=2-16/(k²+4),则y2=-(x2+2)/k=-4k/(k²+4)；
所以：M（4/(4k²+1)-2,4k/(4k²+1)）,N（2-16/(k²+4),-4k/(k²+4)）,Q(-6/5,0)；
则MQ的斜率=5k/4(1-k²),NQ的斜率=5k/4(1-k²),
MQ的斜率=NQ的斜率
所以,M,Q,N三点共线
即MN必然过定点Q(-6/5,0)；
如果不懂,请Hi我,元旦愉快!

1) （-6/5, 4/5)
2) 方法找特殊点：由1）若过定点必过S（-6/5,0) ，不妨M在椭圆与y轴的交点(0,1)
此时MN的连线过S,方程y=5x/6+1，连理椭圆方程，求出N(-30/17,-8/17)
再求出AN的斜率为-2，与AM不垂直。故不过定点