如何用有限覆盖定理证明致密性定理（数学分析里的）

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 14:48:26

如何用有限覆盖定理证明致密性定理（数学分析里的）
如何用有限覆盖定理证明致密性定理（数学分析里的）

如何用有限覆盖定理证明致密性定理（数学分析里的）
设﹛xn﹜为有界数列,并设它们全部包含在[a,b]内.如果它不存在收敛子序列,于是对[a,b]内的任
一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限.因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限
个xn相等之外,其内不含其它的xα,而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖.由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b],当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn,产生矛盾.因此﹛xn﹜存在收敛子列,致密性定理得证.

S是你那个数列的集。
反证假设S中没有聚点。那么对任意的x属于S,都存在一个ex, s.t. x的ex临域内只有x一个点。于是现在找到了一个无限开覆盖：x的ex临域，对任意x。所以，存在一个有限覆盖。假设其为x1,x2,....xn.
注意：每个覆盖内仅有1个S中的点。这一堆覆盖也才至多有n个，与S是无穷集矛盾。于是证明了。...

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S是你那个数列的集。
反证假设S中没有聚点。那么对任意的x属于S,都存在一个ex, s.t. x的ex临域内只有x一个点。于是现在找到了一个无限开覆盖：x的ex临域，对任意x。所以，存在一个有限覆盖。假设其为x1,x2,....xn.
注意：每个覆盖内仅有1个S中的点。这一堆覆盖也才至多有n个，与S是无穷集矛盾。于是证明了。

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