一道高数题求解求lim n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+.+arctan(n^2+n)-nπ/2]n趋向于无穷大

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 21:06:24

一道高数题求解求lim n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+.+arctan(n^2+n)-nπ/2]n趋向于无穷大
一道高数题求解
求lim n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+.+arctan(n^2+n)-nπ/2]
n趋向于无穷大

一道高数题求解求lim n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+.+arctan(n^2+n)-nπ/2]n趋向于无穷大
因为arctanx+arccotx=π/2,所以x≠0时,arctanx+arctan(1/x)=π/2,所以
arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+……+arctan(n^2+n)-nπ/2
=-arctan[1/(n^2+1)]-arctan[1/(n^2+2)]-……-arctan[1/(n^2+n)]
arctanx在[0,+∞)上的单调增加的,所以
-n×arctan[1/(n^2+1)]≤-arctan[1/(n^2+1)]-arctan[1/(n^2+2)]-……-arctan[1/(n^2+n)]≤-n×arctan[1/(n^2+n)]
lim(n→∞) n×n×arctan[1/(n^2+1)]=lim(n→∞) n×n×[1/(n^2+1)]=1
lim(n→∞) n×n×arctan[1/(n^2+n)]=lim(n→∞) n×n×[1/(n^2+n)]=1
所以,lim(n→∞) n[arctan(n^2+1)+arctan(n^2+2)+……+arctan(n^2+n)-nπ/2]=-1